扩域的性质及应用+文献综述(2)
时间:2017-06-17 16:26 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
在F中适当选择H就能使F=G(H).例如，当H=F时总有F=G(H).但是为了得到F，实际上一般来说H不必取这么大. 例如，设F= G=Q,则只需取H= 就有G( )=F了。 现在假定F=G(H).因为在H中任意取定的有限个元素 后，一切形如 其中 如果令 = ，则这个域可以简记为G( )=G .它是添加有限个元素于G所得到的扩域，而F=G(H)就是一切这样的子域的并集。这一事实说明，研究G(H)可归纳为研究添加有限个元素与G所得到的域G . 设G 、F是两个域，且G F，如果F是二文的，那么就说域F是G的二次扩域. 如复数域C是实数域R上的二次扩域，而域Q( )则是有理数域Q上的二次扩域. 性质1：对任意a∈F,存在 ∈F，使a+ ∈G,a ∈G. 证明：显然单位元1∈G F,把1扩充为F的一个基1， ，则对任意a∈F存在α，β∈G,使a=α+β . 又因为F是域，所以 ∈F，于是存在A,B∈G,使 =A+B . 令 =（α+βB）-β .则 ∈F，容易验证a+ ∈G,a ∈G. 易见，这里的 扮演的角色相当于复数C上的共轭复数，因此我们不妨成为a在F上的共轭元素。 性质2：设a,b是F的任意元素，则 （1）当G的特征为2，并且存在 ∈F ， G ，但是 ∈F时有 =a。 （2）在不适合（1）的条件的情形下， =a当且仅当a∈G . 证明：G的特征为2，指的是任意a∈G，a+a=2a=0.不难证明，在G的特征为2时对任意a,b∈G,a=-a, = . 任取G的一个基1， ，记 =A+B ，A,B∈F并且记a=α+β .b= . =（α+βB）-β , . （1）在此情形下，基向量 可取 ，这样 =A∈G又因为G的特征为2.所以 (责任编辑：qin) |