容斥原理及其应用研究

摘要：容斥原理是一种简单而又初步的计数方法，是组合计数中的一个重要的工具。本文对容斥原理的表现形式作了简要的概述,并对其在数学竞赛中的应用、在数论问题中的应用、在排列问题中的应用这三个方面做一个详细的描述。92852

毕业论文关键词：容斥原理,组合数学,数论,排列组合

Abstract：The inclusion exclusion principle is a simple and preliminary counting method, which is an important tool in combinatorial counting。 This thesis gives a brief overview of the inclusion exclusion principle。 In the next three parts: the application of mathematical competition, the application of number theory problems, the application of proof problems and the application of the arrangement, I make a detailed description。

Keywords：Inclusion exclusion principle, Combinatorial mathematics, number theory, Permutations and combinations

1引言5

2容斥原理的表达形式及其证明5

3容斥原理在数学竞赛中的应用6

4容斥原理在数论问题中的应用7

4。1容斥原理在整除的计数问题上的应用7

4。2容斥原理在质数个数的计数问题上的应用9

5容斥原理在排列问题中的应用9

结论11

参考文献12

致谢13

1 引言来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

容斥原理,又被称为包含排斥原理,是一种简单而又初步的计数方法，是解决数学中各种各样问题的常用工具之一。对初学者而言,无论是在对容斥原理的定义理解这一方面,还是在如何运用容斥原理去解决一些常见数学问题这一方面,都有着一定的难度,所以,容斥原理值得我们去仔细探究、揣摩与体会。

2 容斥原理的表达形式及其证明

容斥原理的表述形式:

也可表示为:设为有限集,，则

对于容斥原理，我们可以运用数学归纳法来证明：

证明①当时，等式成立（证明略）。

②假设时结论成立，则当时，

所以当时，结论仍成立。因此对任意,均可使所证等式成立，证毕。

容斥原理的另外一个表述形式:论文网

设为一有限集，为一族性质，对的任一子集，令表示中满足性质（对所有）的那些元素构成的集合。特别地，当时，简记为。记，则集合中不具有中任何一种性质的元素个数由下式给出：

3 容斥原理在数学竞赛中的应用

在组合数学中，计数问题是历年以来各级数学竞赛命题的热点之一，与此同时，容斥原理方法是解决数学竞赛中计数问题的重要工具。掌握容斥原理并熟练地运用它，就可巧妙而合理地变换纷繁复杂的问题情境，将其抽象出一个更为明确的数学模型，从而给以解决。

例1在1到143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？

解析1431413，因此与143有大于1的公因数只能是11的倍数和13的倍数，在1到143这143个自然数中，11的倍数有13个，13的倍数有11个，143既是11的倍数，又是13的倍数。

则根据容斥原理可得：143-13-11+1120（个）。

例2某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有无人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？文献综述

解析由提议可知，三科都得满分的最多有7人。

则根据容斥原理可得：（21+20+19）-（7+8+9）+7+548（人）。容斥原理及其应用研究:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_200592.html