另外,因为
根据Cauchy—Riemann方程有:
于是有 。即 是一个调和函数,同理, 也是一调和函数,同时,它们都是次调和函数。
然后我们来看 时,令
当 时,根据 是一个调和函数, 是一个次调和函数,可知 也是一次调和函数,故其在边界上取最大值。
当 时,令
同上,由于 是一调和函数, 是一次调和函数,知 在边界上能取最大值,从而 在边界上能取最小值。
至此,证毕。
同时,还有对定理2.4.2做出的一些推广。
定理2.4.4 若 是区域 内的次调和函数,对于 的每一点 ,有
则在 内 ;若在 内有一点使等式成立,则 。
定理2.4.5 若 是区域 内的有界次调和函数,在 上除去 外的每一点 ,有
则在 内 ;若在 内有一点使等式成立,则 。
定理2.4.6 若 是区域 内的次调和函数, 是 内的调和函数;且对于 上的每一点 ,有
,
则在 内 ;若在 内有一点使等式成立,则 。 称为 的调和控制函数。
为了解决Dirichlet问题,我们要用到次调和函数的性质。下面,我们将利用次调和函数来构造Perron族。
设 是定义在域 的边界 上的连续实函数, 。 是具有下述性质的函数 的函数族:
(1) 在 内是次调和的;
(2)对于每一点 ,
易见,小于等于 的常数函数均在 内,所以 是非空的。
同时,我们令 ,并称 为关于 的Perron函数。
此外,上述Perron函数在 内是调和函数,这在文献 中有叙述,我们在后面会用到这个性质。
3 调和函数的边值问题
这一章主要综述调和函数的边值问题,包括Dirichlet问题的有解性及一般解,还有Riemann问题。
本章的主要结构如下
探究Dirichlet问题的有解性及给出Dirichlet区域;
运用Green函数求解Dirichlet问题;
③讨论调和函数的Riemann边值问题;
3.1 Dirichlet问题有解的充分条件
本节将给出Dirichlet问题的定义并给出其有解的充分条件。另外,根据充分条件导出的闸函数,我们给出了一般的Dirichlet区域,即在这个区域上的Dirichlet问题是有解的。
Laplace方程 的通解,就是全体调和函数。为了确定Laplace方程的一个解,需要一些附加的条件,而这类条件中最简单的一种,就是Dirichlet问题:
求出一个在区域 内调和并且在 上连续的函数 ,使它在 上取已知值 :
根据极值原理,如果函数 存在,它一定是唯一的。
设在区域 的边界 上给定连续实函数,那么,关于 的Perron函数 在 内调和。因此如果区域 的Dirichlet问题有解,记为 ,那么必定会有 ,故 。另一方面,对于任意 及 上的每一点 ,有
.
根据上章的定理4.6, 是 的调和控制函数, ,从而有 。所以, 。
总之,如果Dirichlet问题有解,则它的解 一定是关于 的Perron函数 。所以,如果Dirichlet问题有解,等价于:对 上的每一点 , 存在且等于 。但这不总是成立的,所以需要寻求Dirichlet问题可解的条件,下面就是 的充分条件。
定理3.1.1 若存在区域 内的调和函数 ,它的边值 是连续的,且除去 外是正的,在 处 ,则
,
其中 在 上连续, 是关于 的Perron函数。
证 任给 ,取 ,使得当 时, ,这里 表示圆 ,且根据 的连续性, 总是可以取到的。
设 是 上 的最小值,由于边值 除去 外都是正的,故 。考虑函数 调和函数的性质与应用+文献综述(4):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_2689.html