举个例子,我们考虑缓慢收敛的级数
 
它拥有精确的和 ,它的部分和 仅仅只有一位数字精确度,而达到优尔位数字精确度大约需要第40000项.
在下方的表格里,部分和 ,Shanks变换S( )都在其中,同时重复的Shanks变换 和 ( )也提供了从n直到12的值,右边的数字展示出了部分和与Shanks变换结果的绝对误差,我们可以清楚的看到在精确度和收敛速率上的改进.
n         S( )      
0    4.00000000    —    —    —
1    2.66666667    3.16666667    —    —
2    3.46666667    3.13333333    3.14210526    —
3    2.89523810    3.14523810    3.14145022    3.14159936
4    3.33968254    3.13968254    3.14164332    3.14159086
5    2.97604618    3.14271284    3.14157129    3.14159323
6    3.28373848    3.14088134    3.14160284    3.14159244
7    3.01707182    3.14207182    3.14158732    3.14159274
8    3.25236593    3.14125482    3.14159566    3.14159261
9    3.04183962    3.14183962    3.14159086    3.14159267
10    3.23231581    3.14140672    3.14159377    3.14159264
11    3.05840277    3.14173610    3.14159192    3.14159266
12    3.21840277    3.14147969    3.14159314    3.14159265
Shanks变换S( )已经拥有两位数字精确度,然而原始的部分和数列在 时才拥有相同的精确度,显而易见地, 拥有优尔位数字精确度,它是由对 到 重复的应用Shanks变换所获得的,如同之前所说, 在大约第40000项时才拥有优尔位数字精确度. Shanks变换及其应用+文献综述(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_30188.html