(证毕)
性质2.9 子群的互不相等的陪集不相交而且彼此都含有相同数目的元素.
证明 证明这个性质我们可以先证明设 ,那么 与 的任一个右陪集 之间都存在双射.
设 ,其中 .
(1) 任意的 ,作为 在 下的象 是唯一确定的,
所以 是映射.
(2) 任意的 ,则显然 有原象 ,
所以 是满射.
(3) 设 , 如果 则 必有(群的消去律)
所以 必是单射.
由(1),(2)和(3)知 是双射.
(证毕)
性质2.10 设 , ,证明以下命题等价:
(1) ,(2) ,(3) ,(4) .
证明 本题主要熟悉陪集性质.用循环证法.
(1)
(2)
另一方面,
综上得
(3) 显然有 .
存在 使 ,所以 .
(证毕)
性质2.11 假设 是一个群, 是所有右陪集 的集合. 是群 中的任意一个子群( 包含 本身和 )并且 是 中的任意一个元素. 在 上定义一个二元运算“ ” 如下:
这里 (包含 和 )是群 中的最小子群, 则:
(1) 是包含 的最小的陪集; 陪集的性质与应用(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_37255.html