摘要：结合不同的例题，系统的总结和阐述利用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式来解题的各种方法和技巧.

毕业论文关键词：格林公式，高斯公式，斯托克斯公式,转换.59004

Abstract：Summarizing and combining different examples, the system of using green formula, gauss formula and stokes formula to solve all kinds of methods and techniques.

Key words: Green formula,Gauss formula,Stokes theorem,transformation.

1 引言 5

2 预备知识 5

2.1 格林公式定理 5

2.2 高斯公式定理 6

2.3 斯托克斯公式定理 6

3 格林公式的例题分析 6

4 高斯公式的例题分析 9

5 斯托克斯公式的例题分析 11

结  论 12

参考文献 13

致  谢 14

1 引言

格林公式是斯托克斯公式的二维特例，以英国数学家乔治·格林命名的.格林公式不仅是联系二重积分和曲线积分的桥梁，更是与定积分的牛顿——莱布尼茨公式有异曲同工之妙,都是连接内部和边界.

格林公式还与高斯公式和斯托克斯公式相关联.格林公式表达了平面闭区域上二重积分与其边界曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间比区域上的三重积分与其边界曲面积分之间的关系.其实格林公式就是二重积分与曲线积分之间的转换，而高斯公式就是三重积分与曲面积分的转换；而斯托克斯公式是格林公式的推广，把曲面积分与沿曲面边界的曲线积分联系起来 .在斯托克斯公式中，若边界 在 面上，则有 ,即得到了格林公式.

格林公式可以用来计算平面图形的面积，它给出了沿着闭曲线 的曲线积分与 所包围的区域 上的二重积分之间的关系.对坐标的曲线积分用参数代替之后就是一个简单的定积分，只不过格林公式是在满足被积曲线光滑且围成闭区域并且被积函数在这个区域满足一阶偏导连续才可以化成二重积分求解.在用格林公式时规定了正反方向，二重积分是在规定了正方向的前提下计算的，默认逆时针为正，如果选顺时针则二重积分前面要加负号 .然而，有些问题并不能直接用格林公式.本文将系统总结和探讨适合应用格林公式，高斯公式和斯托克斯公式求解的各种题目类型，求解的技巧和注意事项.

2 预备知识

2.1 格林公式定理

格林公式联系了展布在一个平面区域上的二重积分与沿这个区域边界的曲线积分之间的关系，即在以下两个条件下：

  闭区间 的边界曲线 与任一平行于坐标轴的直线的焦点不多于两           个；

  函数 ,  具有一阶连续偏导数.

有结论（格林公式）：

其中曲线积分是沿路线 的正向取的， 的正向是指，当人沿着此方向前进时，区域 始终位于它的左侧；二重积分是展布在区域 之上.

设闭区域D是由分段光滑曲线 围成，函数 , 在D上具有连续一阶偏导数，则有  ，其中 取正向 .