3 矩阵可逆的判别方法的归纳及其应用

3.1 定义判别法

利用定义 1数域 上,  阶方阵 ，如果存在 阶方阵 满足条件  ,这里 是 阶方阵，就称 可逆,并且称 是 的逆,记 ．到一个 ，使得  ，则 可逆， ．

例 1 设矩阵求 ．解  设  = 

可以解得 = ．

3.2 行列式判别法把 阶矩阵  

的唯一的 阶子式 

叫做矩阵 的行列式，记做 ．

定理 1  对 阶矩阵 ，若 ≠0，则矩阵 可逆．

例 2 设  = 求 的逆矩阵．

解   =  6 0 则 可逆， = ．所以  = ．

3.3 伴随矩阵判别法

定理 2  若存在 ,使得 ，则 可逆．

证明  若 可逆，则显然 ,且

反过来，如果有       

则    例 3 令满足条件 ,求 ．

解  根据 ,我们有所以同样地，因为 ,故 3.4 初等变换判别法

（1）矩阵的秩文献综述

     定理 3[1]  若一个 阶矩阵 的秩等于 ，则矩阵 可逆．

证明  由 可逆，知 ,再由矩阵秩的定义，可得 .所以由 可逆可推得 .反过来，必要性也显然成立．

（2）初等变换

     定理 4[1]  对矩阵 施行初等变换后，得到矩阵 。若 可逆，则 可逆．

就是对 阶矩阵 ，作 矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块 变为 ，则子块 将变为 ，即初等行变换   ．