这些性质我们都可以根据定义直接推导而来。 差分的物理和几何意义:
在物理方面, 一阶差分表示物体运动的平均速度, 二阶差分表示平均加速度。 在几何方面, 一阶差分表示数列图形中相邻两点连线的斜率。
2。2 高阶等差数列的定义文献综述
因为前面我们已经介绍了差分的概念,因而我们可以直接引出高阶等差数列 的定义。
定义 2 对于一个给定的数列 an ,把它的连续两项 an1 与 an 的差 an1 an
记为 bn ,得到一个新数列bn ,把数列 bn 称为原数列 an 的一阶差数列,如果 cn bn1 bn ,则数列 cn 是 an 的二阶差数列,依此类推,可得出数列的 p 阶 差数列,其中 p N 。如果一个数列的 p 阶差分数列是一个非零常数列,则称这 样的数列叫 p 阶等差数列。
定义 2 表明,当且仅当 an 是 k 阶等差数列,数列 an 是 k 1阶等差数列。
例如:数 列 1 ,16 , 81 , 256 , 625 ,1296
一阶差 15 , 65 ,175 , 369 , 671 二阶差 50 ,110 ,194 , 302 三阶差 60 , 84 ,108
四阶差 24 , 24
所以说数列1 ,16 , 81 , 256 , 625 ,1296 , 是四阶等差数列。 注明:零阶等差数列其实就是常数列;中学所学的等差数列就是一阶等差数
列;二阶及以上的等差数列就是高阶等差数列,高阶等差数列是中学所学习的等 差数列的拓展与延伸,研究高阶等差数列的通项、前 n 项和以及它的应用对中学 等差数列的学习有着举足轻重的作用。
3。 高阶等差数列的求和公式
大家知道,如果数列 a1 , a2 ,an ,是一个 r 阶等差数列,那么,它的通项 ar 是 n 的 r 次函数,而他的前 n 项的和则是 r 1 次函数,目前一些书刊根据这种理 论来讨论这个数列的通项和前 n 项的和时,大都是采用待定系数法,通过解线性
方程组来决定其系数,最后求得这个数列的通项公式和前 n 项和的公式。本文准备 先采取另外一种方法,即从最简单的等差数列(即一阶等差数列)来讨论,逐步推 导出二阶等差数列,三阶等差数列,直至 r 阶等差数列的通项公式和前 n 项和的 公式。
我们首先将等差数列 a1 , a2 ,an ,的通项公式 an a1 n 1d 和前 n 项和
的公式 Sn
nn 1d =分别作如下变形 :
从公式 1和 2可看出,要求一阶等差数列的通项公式和前 n 项和的公式, 至少要知道这个数列的前两项 a1 和 a2 。
3。1 高阶等差数列的通项来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com
求高阶等差数列的通项及前和的时候,通常采用逐差法或者待定系数法。下 面先介绍逐差法求通项。
方法一逐差法。
例 1 求数列1 , 7 , 25 , 61 ,121 , 211 的通项公式。 解 先作出阶差表
数 列 an 一阶差数列 bn 二阶差数列 cn
: 1 , 7 , 25 , 61 ,121 , 211
: 6 ,18 , 36 , 60 , 90
: 12 ,18 , 24 , 30
三阶差数列 dn : 高阶等差数列通项前n项和公式的探讨及应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_82665.html