本论文对在众多文献的基础上，对其进行了讨论与归纳，给出了微分中值定理的一些不依赖与罗尔定理的其它证明方法，接着分别对三个中值定理进行了推广，说明了三个公式之间的递进关系，并在解决根的存在性问题，证明不等式和等式三个应用方面进行了归纳举例．

1。微分中值定理及传统证明

1。1罗尔中值定理

    定理1　若函数满足如下条件：

    ①在闭区间上连续；②在开区间上可导；③，

则在上至少存在一点，使论文网

　　　　　　　　　　　　　．

    证  由于函数在是连续的，因此有最小值与最大值，分别用与表示，进行如下讨论：

若，则在上必定为常数，所以结论成立．

若，则因为，所以最小值与最大值至少有一个在开区间上的某点处取得，从而是的极值点．又由条件可知显然在点处是可导的，则由费马定理可推知 证毕．

1。2拉格朗日中值定理

    定理2　若函数满足如下条件：

    ①在闭区间上连续；②在开区间上可导，则在上至少存在一点，使得

　　　　　　　　　　　．

    证  做辅助函数 

　　　　　　　　

显然 ，则可知在上满足罗尔中值定理．故存在，使整理后可得证毕．

1。3柯西中值定理

    定理3　设函数和满足：

①在闭区间上都连续；②在开区间上都可导；③和不

同时为零；④，则存在，使

　　　　　　　　　 ．

    证　作辅助函数

　　　　　　　　　

显然在上满足罗尔中值定理的条件，故存在，

使得 ，又已知(否则也为零)，

因此上式可整理为证毕．

2。微分中值定理的其它证明法及推广

2。1微分中值定理的其它证明法

2。1。1罗尔微分中值定理的证明

    证  （闭区间套法）文献综述

对于区间进行二等分，取左区间．

设　　　  　 

可看到在上连续，且有

           

根据闭区间上连续函数的介值定理可知，存在，使得

                 

令，，有，且，

记　　　　　　，

再将二等分并按照上面的步骤可得到，

              ，．

依照此步骤依次等分下去，则可得到，

              ，．

根据闭区间套定理可知，存在唯一一点，使得，且，

由无穷小量和极限的关系可得

              ，，

其中是无穷小量．

取，则

       

             

             ．

2。1。2拉格朗日中值定理的证明

    证　（闭区间套法）：若，则取，，可得，：若，由介值定理得：存在，使得，

  则取，，，则有  记 再将二等分且可得

                                 

             

  逐次等分下去可得

                    微分中值定理的推广及应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_91618.html