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(2.2)
2．3 基本的相关算法
基本的相关算法的实现过程是：取相邻时刻的两帧图像，在第一帧中划分出适当大小的子窗口图像f，称为参考窗口，并假设f内所有粒子的运动相同。在第二帧中划分出相同大小的子图像g，称为搜索窗口。二者作互相关运算，得到一个相关测度。在第二帧图像中移动g并分别和f作相关运算直至覆盖完第二帧图像。找出上述测度中极值所对应的f和g，它们被认为是最匹配的，即在t1时刻f的中心位置运动到了t2时刻g的中心位置，从而进一步计算出中心位置的速度。该算法物理含义明了，实现简单，精确度高，可测速度的动态范围很大，但是显而易见运算量太大。若图像大小为512×512，查询窗口大小为64×64，窗口偏移为16×16，则运算次数的数量级为O(1012) [29]。
模板匹配的“相似”性采用相关函数的值作为标准，其定义如下：
(2.3)
设第一、二幅图像的灰度函数分别为F=f(m,n)|m=1…M,n=1…N，G=g(m,n)|
m=1…M,n=1…N，在F中区查问窗口为Fw(x,y)={f(m,n)|m=x-wx/2…x+wx/2,n=
y-wy/2…y+wy/2}(其中x,y,wx,wy皆为正整数，wx,wy为查询窗口的大小，且满足wx/2 x M-wx/2,wy/2<y M-wy/2)，G中寻找相同大小的窗口Gw(x,y)={ g(m,n)
|m=x+∆x-wx/2…x+∆x-wx/2,n=y+∆y -wy/2…y+∆y-wy/2}。对于每个Fw(i×∆wx+1+
wx/2, j×∆wy+1+wy/2)，在G中对每个Gw求相关，得到相关值集合ij,在集合ij中求出最大值Max(ij)所在的坐标(xm(i,j),ym(i,j))，则∆x(i,j)=xm(i,j)-i×∆wx-1-
wx/2和∆y(i,j)=ym(i,j)-i×∆wy-1-wy/2确定的位移矢量s(i,j)=(∆x(i,j),∆y(i,j))，即为点(i×∆wx+1+wx/2, j×∆wy+1+wy/2)处的位移。
该算法物理含义明了，实现简单，精确度高，可测速度的动态范围很大，但是显而易见运算量太大。该算法的运算量主要从以下三方面进行计算[29]：
1) 一幅速度矢量场图像需要算出的位移s(i,j)的数目为：
(2.4)
2) 为了计算出一个位移s(i,j)，需要计算的相关值fg(m,n)的数目为
(2.5)
3) 为了得到一个相关值fg，需要计算的次数为 (2.6)
所以总的计算次数为 。若图像大小为512×512，查问窗口大小为64×64，窗口偏移为16×16，则运算次数的数量级为O(1012) [29]。显然，这种基本算法的计算量过于庞大，实际应用中受到限制。考虑到流体介质的连续性和流速的连续性，我们可以实现把局部流体的最大流速限制在象平面上的wx/3(或wy/3)个像素内。在这一前提下，(2.5)中的C减少到
(2.7)
这样所需的计算量减为O(1010)，降低了两个数量级。
尽管如此，我们在实现这一算法时发现每次计算得出的相关值fg在下一次计算是完全没有用上，而每相邻两次相关计算中相关窗口只移动1个像素，相邻两个相关值的计算中绝大部分数据是相同的，这一过程存在大量冗余。若能消除或减少这一冗余，计算量势必会减少。这就需要进一步对算法进行优化。
2．4 改进的相关算法
奈奎斯特采样定理证明了采样频率大于等于信号最高频率的两倍时，信号能不失真地重建[30]。设一个查询窗口的空间频率为wx(或wy)像素，根据上一节，规定了实际位移的最大频率分量为wx/3(或wy/3)像素，所以在两幅图像的同一位置的查询窗口中，应该能重建出相应的位移。这样就有效的避免了移动窗口产生的冗余，直接在两幅图像的同一窗口中，对每一点作相关计算，求出相关函数集合，进而求出Max(ij)所在的点，即可求出s(i,j)。本方法与前述的“中心”相关计算不同，是对窗口中出中心以外的点进行“偏心”的相关计算。虽然这种相关的误差比“中心”的相关大，但是奈奎斯特采样定理保证了最大的相关峰出现在对应于s(i,j)处。
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