闭合形式抠图算法比较及人像植入工具开发(5)
(2.5)
公式2.5中 是窗口的像素个数， 为克罗内克函数， 和 是大小为 的窗口 的均值和方差矩阵。
以上介绍的是灰度图像中的闭合形式抠图算法的闭合求解过程，从灰度图像扩展到到彩色图像，就是将灰度图像下的代价函数应用到彩色通道的每一个通道然后进行闭合求解。公式(2.1)的线性模型被如下公式替代：
(2.6)
根据公式(2.6)算法定义RGB图像的抠像代价函数：
(2.7)
与灰度图像类似，彩色图像的 同公式(2.4)，L矩阵的构建方式如下：
(2.8)
其中 是 的协方差矩阵， 是大小为 的 窗口内像素颜色均值向量， 是 的单位矩阵。需要注意的是，L的每行需要保证和为0，因此L的零空间包含常数向量，同时如果公式(2.7)中的 =0，L的零空间同样包括I的每个颜色通道。
对于灰度图像或彩色图像获得L矩阵，根据公式(2.4)求解即可得图像的alpha图像。
2.2 采样和闭合形式结合的抠图算法
在图像前、背景较简单时，图像能够很好地满足局部平滑性假设，因此闭合形式抠图方法在处理这样的图像时能够获得比较满意的alpha图像。然而，当待处理图像前背景信息比较复杂时，局部平滑性假设不成立，闭合形式抠图算法利用该假设求解得到的alpha图像会出现错误。因此可以考虑将采样和闭合形式抠图算法相结合，结合两种方法的优点，得到更准确的alpha图像。这类抠图方法的大概思想为：首先通过采样可以为每个未知像素估计一个初始的alpha值，以及关于该alpha值的一个信度值，然后利用事先的假设条件构建Laplacian矩阵；最后，结合Laplacian矩阵、信度值以及用户交互信息优化初始alpha值，得到最终的alpha值。在这里我们选取了两个采样和闭合形式相结合的抠图算法，共享抠图算法和广泛采样抠图方法，下面将分别详细地介绍两个算法。
2.2.1 共享抠图算法
共享抠图算法[19]提出，在一个小的邻域内，像素具有相似的特征，他们之间可以共享前背景样本。由此，可以得到：(1)由相邻像素收集的样本的初始集合仅有少数元素之间存在不同；(2)相邻像素通常能够选择到相同或者相似的最佳前、背景组合。这些结论说明图像内的每个像素抠像操作是独立的，可以在不影响抠像质量的情况下减少计算的冗余度，提高算法的效率以实现抠图算法的实时性。
共享式抠图算法流程包括以下步骤：
1) 已知区域扩展：根据三分图中的前景和背景信息推算出部分未知区域像素。
2) 采样和抠像计算：采样得到三分图中未知区域的最优前、背景信息，并且从已知样本中计算初始化alpha图像。
3) 局部平滑处理：局部平滑采样步骤得到的抠像结果。
4) 抠像优化：实时共享抠图在第三步就已经结束，共享抠图算法为了提高抠像的精度，在局部平滑处理之后增加了一步优化处理，即根据平滑处理得到的alpha值和信任度值构建Laplacian，优化局部平滑处理得到的alpha图像。
下面将对每一个步骤做详细地介绍：
(1)已知区域扩展
为了减少未知区域像素的个数，可以在一定程度上减小后面步骤的计算量。基本思想为，对于未知区域像素中的某个像素点，在其邻域半径内，如果有已知背景点或者前景点，则计算其颜色和这些已知前景背景像素的颜色距离，然后将这个像素点归于与其颜色距离小于某个值并且空间距离最近的前景或背景。在该算法中，推荐的邻域半径为10，颜色临界值推荐为5/256。