一般情况下根据计算模拟过程中，结构每一时刻的动力反应来决定是否求解线性方程组，包含显式积分和隐式求解过程。下面使用显式积分方法求解碰撞运动的力学方程：

                             (2-1)

在上式的运动方程中，表示质量矩阵，表示阻尼矩阵，а表示加速度向量，表示速度向量，表示位移向量，表示包括碰撞力在内的外力向量。假设， 并设 。此时的碰撞方程表示为：

                                   （2-2）

采用集中质量，即质量矩阵变成对角矩阵，此时各个自由度的方程是相互独立，表示为：

                                （2-3）

得到加速度后，进行时间积分获得单元节点的速度，再次积分得到节点的位移。这里使用中心差分的显式方法来进行时间积分，其表达式为：

                                   （2-4）

显式积分方法不需要对刚度矩阵进行分解或求逆，也不用对联立的非线性方程组求解，只需求解质量矩阵的逆，而质量矩阵一般可转化为对角阵；显式非线性方法内的增量步不存在数据迭代收敛问题，能自动控制计算步长的大小，以保证时间积分的准确度。这种计算方法的代表软件有ABAQUS。中心差分法条件上十分稳定，在求解碰撞问题过程中，只需注意计算时间步长不能超过临界时间步长。通常情况下采用有限元模型中网格的特征长度与应力波速之比，来近似表示临界时间步长，如式2-5所示：

                            (2-5)

2。4 船舶碰撞仿真中的材料模型

2。4。1 材料的应变率敏感性

船舶碰撞中材料模型不能忽略。船用低碳钢塑性应变率变化非常敏感，其屈服强度、拉伸极限强度与应变率变化趋势基本一致，是以对材料模型应引入应变率敏感性的影响，对碰撞过程构件的动力特性进行研究。表示材料应变率敏感性的本构方程多种多样，本文中采用与实验数据符合得比较好的Cowper-Symonds本构方程：

                      （2-6）

表示在塑性应变率时的动屈服应力；表示相应的静屈服应力；Cowper-Symonds本构方程中的两个参数D和q为应变率系数。通常情况下取船用低碳钢D=40。5，q=5；对于高强度钢，D=3200，q=5。

2。4。2 材料的失效准则

在有限元仿真模型中如果网格单元不能继续承受载荷，称为材料的失效。表现为部分单元被删除。本文中定义失效应变来判断模型失效材料作为材料的失效准则。失效应变的合理选择对有限元数值仿真结果非常重要。通常意义上材料的失效分为两种形式，一是柔性失效，另一种是脆性失效。柔性失效是指材料失效的局部位置经历了极大的颈缩后断裂，而脆性失效不经过柔性失效阶段而是直接发生断裂。文献综述

舷侧构件在船舶碰撞中两种失效都会发生，取决于碰撞区域构件的温度、载荷、焊接形式等。在有限元仿真中，材料失效应变主要是由静态拉伸试验获得，经过验证后运用在模型上。Naar等人通过低碳钢拉伸试验得到材料的失效应变为0。18，与Lehman等人的结果符合。而Wisniewski等人则认为不仅适合低碳钢和高拉伸钢的失效应变为0。17，Simonsen 和Lauridsen 却通过低碳钢拉伸试验认为其失效应变应该为0。19，但是Kitamura提出对于大多数普通船用低碳钢而言，其失效应变应为0。3。Paik从大量的有限元模型和试验的对比中发现，有限元模型中材料的失效应变受单元尺寸影响而不仅仅只与材料本身有关。一般研究认为单元尺寸越大，其材料模型的失效应变应取值越小。本文中认为模型的失效应变为0。3。