函数的一致连续性及其应用(3)
虽然
但是 而非趋于0 .
由上述定理可知,一致连续的函数, 当自变量变化很小时, 引起函数值的变化也很小, 为无穷小量,表现在图形上就是：其图像在区间上平缓地变化的； 而由上述的两个例题可知,非一致连续函数,当自变量变化很小时, 引起函数值的变化并不是无穷小量,表现在图形上就是：其图像在区间上是陡峭的.
当 接近于某 时, 函数图像接近垂直于 轴, 则函数在以 为端点的小区间内一定非一致连续.从而要证非一致连续时, 要寻找的特殊点就应在 附近取.
2. 一元函数一致连续性的判别
2.1 一元函数一致连续性的常用判定定理
定理 若函数 在 上满足：对 , ,有 , 为某一常数,则 在 上一致连续.
定理 已知 为 右端点, 为 的左端点, 若 在 和 上一致连续,则 在 上也一致连续.
定理 函数 在区间 上一致连续的充要条件是在区间 上满足 的任意两数列 、 , 必有 .
定理2.1,定理2.2和定理2.3的证明过程可参看参考文献[1].
定理2.4 函数 在有限区间 上有定义, 那么 在区间 上一致连续的充分必要条件是任意Cauchy列 , 有 也是Cauchy 列.
定理2.3和定理2.4的必要性常被用来判定一个函数不是一致连续的.
2.2利用导数判定一元函数一致连续性
定理2.5 设函数 在区间 上可导,且其导函数 在区间 上有界,则 在区间 上一致连续．
推论1 设 在 上连续,在 可导,若 在 的某邻域内有界,则 在 上一致连续．
推论2 若 在 上可导,且 在点 的某右邻域内有界,在点 的某左邻域内有界,则 在 上一致连续．
推论3 若 在 上可导,且 和 都存在,则 在 上一致连续．
推论3反之不一定成立.
例3 函数 = , .
事实上，由 .知 在 上一致连续.但 ，其
.
定理2.6 设 在 上连续,在 可导,且 ,则 在 上一致连续的充分必要条件为 .
例4 , ,其中 ,且 , ． 在 上的一致致连性？
解 , . 由定理2.6知 在 上是一致连续的．
例5 , ,其中 ， 在 上的一致连性？
解 , .由定理2.6知,当 时, 在 上一致连续;当 时, 在 上不一致连续．
2.3一元函数一致连续性的比较判别法
定理2.7 设函数 和 在区间 上可导,若存在 使得对任意的 ,都有 ,则有
1) 当 在区间 上一致连续时, 也在区间 上是一致连续的.
2) 当 在区间 上不一致连续时, 也在区间 上是不一致连续的．
证明: 1)由 在 上一致连续,即对 , ,当 且 时,有
.由Cauchy中值定理,在 和 间存在点 ,使得
也即是 ,
所以 也在区间 上是一致连续的．
2) 假设 在区间 上是一致连续的,则由1)的结论知 也在区间 上是一致连续的,与已知矛盾．
推论1 设函数 和 在 上连续,在 内可导,且 ,则有
1)当 时,若 和 中有一个在 上一致连续,则另一个也在 上是一致连续的；
2)当 时,若 在 上一致连续,则 也在 上是一致连续的；
3)当 时,若 在 上不一致连续,则 也在 上是不一致连续的．
证明 1)当 时,由局部保号性,存在 ,使得当 时,有
,即 .
根据定理2.7，易得结论.
2)当 时,由局部保号性,存在 和 ,使得当 时,有 ,即 ．由定理2.7，易得结论.
3)当 时, ,由2)的结论知,若 在 上一致连续,则 也在 上一致连续,矛盾．所以当 在 上不一致连续, 也在 上不一致连续．
上一篇：中学数学课堂问题讨论探究
下一篇：广义积分的收敛性判别方法