一个特殊的种群模型（时滞微分方程）的稳定性分析(2)
在国际上关于时滞泛函微分方程的研究，俄国是最早且最为权威，几乎所有的西方专著均已译为俄文。而东欧各国大体上都是从60年代开始的。罗马尼亚是以A.Halanay为代表的一大批作者在国际上颇受重视。其次是波兰的Kuzma等关于泛函方程方面的大量工作。研究时滞微分方程我们会发现，函数模型中的各项系数以及时滞项的值都会影响该方程最终的稳定性，所以我们考虑一个具体的例子的时候一定要注意各项系数的关系。
1．2 时滞微分方程在各领域应用的现状
2 时滞微分方程的稳定性分析
2．1 特征方程
首先，对于线性时滞微分方程[20]
（2.1）
给出其特征方程的定义，其中 是 阶实常数矩阵， 是常数。
设方程（2.1）有形 的解，其中 是非零向量， 。将 代入方程（2.1）后，得到了
。
因此，
。
其中 是 阶单位矩阵。 的充分必要条件为
（2.2）
称方程（2.2）为方程（2.1）的特征方程。
2．2 稳定性的定义
对于时滞微分方程（2.1）给出稳定性的定义，这里 为 阶实常数矩阵，时滞 。
对于任意给定的初始时刻 以及初始函数 ，方程（2.1）过 的解记作 。显然， 是方程（2.1）的解，此解又称为方程（2.1）的零解。
定义2.1 对 ，记 。
（1）方程（2.1）的零解称为一致稳定的，如果对任意的 ，存在 ，使得对任意的 ，有
成立。
（2）方程（2.1）的零解称为一致吸引的，如果对任意的 ，存在 ，使得对任意的 ，有
成立。
（3）方程（2.1）的零解称为一致渐近稳定的，如果方程（2.1）的零解是一致稳定的且是一致吸引的。
（4）方程（2.1）的零解称为指数渐近稳定的，如果存在 ，对任意的 ，存在 ，使得对于任意的 ，则有
成立。
定理2.1[20] 方程（2.1）的零解一致渐近稳定的充分必要条件是特征方程（2.2）的所有根 全分布在复平面的左半部，即
。
2．3 一文情形的渐近稳定性
考虑标量方程[20]
（2.3）
其中 。
定理2.2[20] 方程（2.3）的零解一致渐近稳定的充分必要条件是
（2.4）
方程（2.1）的特征方程为 （2.5）
注2.1 当 时，方程（2.5）化为 ，即 。由于 ，所以有 。
定理2.2的证明[20] 首先，若 ，则由 知方程（2.1）的解为 常数。此解显然不趋近于 。故方程（2.1）的零解不是一致渐近稳定的。若 ，选取初始时刻为 ，初始函数为 ，则由方程（2.1）可得
注意到 时， 。所以，方程（2.1）以 为初始函数的解 为增函数，且不趋近于 。故方程（2.1）的零解不是一致渐近稳定的。
以下考虑 的情形。由定理2.1，只要证明条件（2.4） 的所有的根 满足 即可。
充分性 若 ，则由注2.1可知， 时，方程（2.1）的特征根 ，即方程（2.1）的零解是一致渐近稳定的。
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