(1)  有单位元;
    (2)  中每一个非零元都可逆,则称 是一个除环.一个交换除环称为域.
定义  (循环环)如果群 可以由一个元素 生成,即 ,则称 为由 生成的一个循环群,并称 为 的一个生成元.于是是一切形如 的元素生成的群,亦即
一个环 关于其加法作成一个加群,用 表示,若加群 是一个循环群,则称环是一个循环环,若 则循环环可以表示成
 
若 在加群 中的阶为 ,则可表示为
 
    定义  (模 剩余类环)任意取定一个正整数 ,令 为由 个剩余类
          , , , , 
作成的集合.下面规定剩余类的加法与乘法,使 作成一个环.
任取 ,   ,规定: + = ,  = .下面证明这是 的两个代数运算.
设 = , = ,则 ,  .从而 ,即有
 = .这就是说,剩余类的加法与每类中代表元素的选取无关,故加法是 的一个代数运算.此加法显然满足结合律与交换律;又 是零元, 是 的负元.因此, 对加法作成一个群.同法可证,剩余类乘法  = 也是一个代数运算.又易知乘法满足结合律和交换律,且乘法对加法满足分配律,故 作成一个环,是 阶有单位元的交换环,称为模 剩余类环.
定义   若有一个环 到环 的映射 满足
 (  ,   ),
则称 为环 到环 的一个同态映射.
  
定义1.19设 是一个环,  S  ,若S关于 的加法、乘法作成环,则称S是 的一个子环, 是S的扩环,记作S  .
类似地,可以定义整环的子整环,除环的子除环,域的子域等概念.
    若   .且  {0},   ,则称S是R的非平凡子环.
    若   ,且   ,则称 是 的真子环,记作 .
定理    中非零元 如果与 互素,则为可逆元;如果不与 互素,则为零因子.
    定理  如果 是素数,则环 是一个域;如果 是合数,则环 有零因子 ,从而不是域.
    定理 设 是两个正整数,则  
  定理 除去零乘环外,在同构的意义下,循环环有且只有整数环以及剩余类环及其子环.
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