矩阵的特征值的界及应用
毕业论文关键词：矩阵迹;矩阵范数;不等式;应用 29229
The Eigenvalues of the Matrix and the Application
Abstract：Based on the relationship between matrix trace and matrix norm of some inequalities, this article makes a rough estimate of the eigenvalues . Combined with the master norms and the examples are used to validate the method, the result will be more simple and more accurate.
Key words：Matrix trace; Matrix norm; Matrix inequalities; Application
目录
摘要 1
引言 2
1. 预备知识 3
1.1 相关概念 3
1.2 不等式关系 3
1.3 主子式之和 4
2. 主要内容 4
2.1 定理 4
2.2 推论 11
3. 例题 11
参考文献 13
致谢 14
矩阵的特征值的界及应用引言
矩阵是高等代数的一个重点和难点，矩阵的特征值是研究与考试中常见的一类题型.虽然大学里对特征值的界不做太多的要求，但特征值的界确实是数学研究中很重要且很基础的部分.对特征值的界的表示过程，方法灵活多样，技巧性和综合性较强，对创造思文有很大的帮助，有助于对理论知识的理解和应用，同时也对进一步学习和深造有帮助，对于提高我们的思文，技能和技巧也很有益的.
应用矩阵的迹估计特征值的界，这方面的研究，国内外已有不少成果.文献[1]探究了矩阵特征值的一些基本性质；文献[2]通过几个不等式来研究特征值；文献[3]通过找出一个与矩阵特征值相同、元素结构简单的矩阵，来给出特征值的范围；文献[4]通过主子式来表示特征值；文献[5]在实数不等式的基础上，推广了矩阵迹和范数的有关不等式；文献[6]应用Schur不等式去估计特征值；文献[7]对称一类区间矩阵的特征值进行了探讨；文献[8]-[11]则各自对特定对的矩阵的特征值进行研究.
本文在上述文献的基础上，对特征值的界进行了总结.通过研究矩阵迹和矩阵范数之间的不等式，以及运用主子式之和表示结果，等到了矩阵特征值的一些新的界.
预备知识
1.1相关概念
定义〖 1〗^([1]) 设A=(a_ij)为n×n复方阵，称它的对角元素之和为A的矩阵迹，记为trA，即trA=∑_(i=1)^n▒a_ii .若λ_1，λ_2，λ_3，…，λ_n为A的特征值，则
trA=∑_(i=1)^n▒λ_i ，〖trA〗^k=∑_(i=1)^n▒λ_i^k .
定义〖 2〗^([1]) A^*表示方阵A的转置共轭矩阵，记||A||=√(trA^* A)，就有
||A||^2=〖trA〗^* A=∑_(i,j=1)^n▒〖|a_ij |^2 〗.
定义〖 3〗^([4]) 记A_k 为n阶方阵A=(■(A_k&B_k@C_k&D_k ))的k阶顺序主子式,1≤k≤n-1;
B_k 为k×（n-k）阵，C_k 为(n-k)×k阵，并记
Y_1=||A||^2-〖(max)┬(1≤k≤n-1) (〗〖〖||B〗_k ||〗-〖||C〗_k ||)^2;
Y_2=||1/2(A+A^*)||^2-1/2 〖 (max)┬(1≤k≤n-1) (〗〖〖||B〗_k ||〗-〖||C〗_k ||)^2.
1.2不等式关系
引理〖 1〗^([2]) 设〖A∈C〗^(n×n)，A≠0，若秩(A)=k，则|trA|^2≤k||A||^2；当detA=0时，有|trA|^2≤(n-1)||A||^2.
证明 设A=(a_ij)，A的所有非零特征值为λ_i≠0(i=1,2,…,k),
因为
〖trA=λ〗_1+λ_2+⋯+λ_k,
所以
|trA|^2=|λ_1+λ_2+⋯+λ_k |^2≤k(|λ_1 |^2+⋯+|λ_k |^2 ).
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