解析函数的级数表示及其应用
毕业论文关键词：解析函数；幂级数；直接展开法；间接展开法；三角级数求和
Series of Analytic Function and Its Application
Abstract：Complex domain function of power series expansion represents a powerful tool for function and research function. In this paper, we first introduce the concept of complex power series, basic properties and important theorems; secondly, summarizes the several ways, such as variable substitution, power series multiplication, term wise derivation method the analytic function expansion for the power series and related applications. Finally, the power series of properties are applied to in calculating the trigonometric and neutralization in the integral operation. This paper is based on the primary results．The results not only include the related conclusions available but also extend them．
Key words：Analytic Function；Power Series；Immediate Expansion；Indirect Expansion；Trigonometric Series Summation
目 录
摘 要1
引 言2
1 复数项幂级数.....3
1.1 幂级数....3
1.1.1 幂级数概念.3
1.1.2 幂级数的敛散性与收敛半径.4
1.1.3 幂级数的运算性质...5
1.2 解析函数的泰勒级数..6
1.3 解析函数的洛朗级数..7
2 解析函数的幂级数表示法..8
2.1 直接展开法...8
2.2 间接展开法.10
3 幂级数的应用15
3.1 在三角级数求和中的应用........16
3.2 在积分运算中的应用...........16
4 结束语18
参考文献.19
致谢..20
解析函数的级数表示及其应用
引 言
幂级数是研究解析函数的一个重要内容，它的起源很早.在数学领域中最早是在14世纪有了将函数展开成无穷级数的思想．在之后的三个世纪之后幂级数的研究进程得到了飞速发展．在此期间,牛顿(Isaac Newton)验证出了 的无穷级数，后又由格雷戈里(J. Gregory)将这三个公式传递到了中国．由梅文鼎之孙梅钰成收录保存，后由明安图证明并完善了这些公式．1666年牛顿表达出了 的幂级数展开式，后用另一种方法再次给出了这个公式．孟枯铖苦心孤诣理解由明安图完善的部分，提出了他独特的想法,为幂级数展开式的发展做出了卓越的贡献，也加速了传统数学垛积术的向前发展 ．由于函数幂级数在理论上的高度以及在实例中的适用性,使得它一直是实分析和复分析中的重点内容.幂级数的展开式一直是数学分析的一个重点，并且利用这些性质可以很巧妙将很多不便于掌握的函数表达的简洁明了、条理清晰，呈现出最适合解答的效果．在以往的研究中关于函数幂级数的应用已经取得了很好的研究成果，特别是在近似计算中函数幂级数的展开应用非常广泛，比如通过幂级数展开式 ，求得与 的值无关 的近似值．另外，不仅是在数学中,在物理、土木工程等跨学科领域中也广泛发展．在实际的数学学习中,对解析函数的研究往往与其幂级数的研究是紧密相连的，因此复变函数中的主要内容之一就是解析函数幂级数的展开．
在复变函数幂级数上，文献[2]关于复变函数幂级数的定义，定理以及相关性质，以及使用柯西-阿达玛法求幂级数的收敛半径．在文献[3] [4] [5]中详细地讲述了幂级数的收敛半径 的求法，在本文中记录了三种方法．吴凤香与方晓华于[12]中写到了将函数展开为幂级数的多种方法，如直接展开法，变量代换法，幂级数乘法，逐项求导法等．2007年,王欣在他的博士论文[15]中给出了幂级数在三角级数上求和的应用．后又在文献[17][18]上面实变函数幂级数在积分运算中的应用推广到复变函数中．
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