带权的Hardy-Littlewood-Sobolev型积分方程组的解的性质(2)
和 其中 ， ， 和
. 是 中的单位向量， 是单位球面的表面面积.
在无穷远点附近. 若 ，则和
显然，命题 对于理解方程组(1.1)正解的性质是很有帮助的.
本文主要考虑 时方程组(1.1)解的性质. 我们首先证明证明PDE方程组(1.3)和积分方程组(1.1)的等价性. 接下来，我们证明(1.1)的有限能量解是局部有界的，最后证明(1.1)的局部有界解是轴对称的.
定理1.1 设 是PDE方程组(1.3)在(1.2)条件下的一对正解，若 且 ，那么如果不考虑常数，则 也是积分方程组(1.1)的解.
定理1.2 若忽略常数，则积分方程组(1.1)的解也是PDE方程组(1.3)的解.
定理1.3 若 是方程组(1.1)在(1.2)条件下的一对有限能量解，那么 .
定理1.4 设 是(1.1)在(1.2)条件下的正解. 若
则 是关于包含原点的某个轴对称的且关于这个轴递减.
注记: (1) 在有限能量解的正则性意义下，命题1.2给出了最佳可积性. 这里，定理1.3证明有限能量解必须是局部有界的.
(2) 命题1.1给出有限能量解具有径向对称性质. 这里，定理1.4证明局部有界解的轴对称性.
(3) 根据定理1.1，对于分数阶偏微分方程(1.3)的正解，定理1.3的结果仍然是成立的.
(4) 定理1.1和定理1.4证明的难点就在于情形 的处理. 为了解决定理1.1的问题，我们需要利用可积条件和更复杂的分析技巧. 为了解决定理1.4的问题，我们需要利用[12]中的方法来处理.
2 等价性
在这部分，我们将证明定理1.1和定理1.2.
为了证明定理1.1，我们首先给出以下结果.
定理2.1. 在(1.2)的条件下，若 是 (2.1)
的一对正解，其中 是正整数. 若 ，那么对于 ，
证明 对于 和 ，我们利用Chen-Li[3]介绍的重置中心的方法来证明.
记我们需要证明对于 ，有 .
第一步 我们证明 .
否则，存在 使得 . (2.2)
我们将用五步推导出矛盾.
(i) 定义 的第一次平均为记 这里 . 那么对于 ，我们有
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