推广的Ostrowski积分不等式
本文引入参数 ni iq 1 ， 111 ni iq， , 0 iq 给出Ostrowski积分不等式的一个推广形式.关键词 Ostrowski 积分不等式； p L 空间； Holder 不等式1 引言1938年，Ostrowski 证明了如下积分不等式[1]: '22) (241) (1) ( f a ba bb axdt t fa bx fba其中 ) (x f 在 ] , [ b a 上连续， b a, 上可导，且 'f ： R b a ) , ( 在 ) , ( b a 内有界，即 'f .在 P L 范数下证明了新的 Ostrowski 型不等式[2]:pbaf x L dt t fa bx f') ( ) (1) ( 其中 R b a f b a x ] , [ : ], , [ 绝对连续， 11 1, 1 ], , [' q pp b a L f pqq qqx b a xa bx L1 1 1)1) ( ) ((1) ( 利用 Holder 积分不等式，给出了推广的 Ostrowski 型不等式（1） （2）[3]：引理 1 设 R b a g f ] , [ : , 为绝对连续， ] , [ ,' 'b a L g f p ， 11 1, 1 q pp ,则 babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) ( ba pba pdt t fa bg dt t ga bf x L ) (1) (1) (' '（1）引理 2 设 ' ', , , g f g f ，与引理 3 中的相同，则 x f g x g f x L dt t ga bx f dt t fa bx g x g x fp pbaba' ') ( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( 2 (2)本文在[3]的基础上引入参数 ni iq 1 ，给出Ostrowski 型不等式的进一步推广.2 主要结论定理 1 设 R b a g f ] , [ : , 绝对连续， ] , [ ,' 'b a L g f P ， 111 ni iq，论文网 0 iq ，则 babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) ( dt t fa bg dt t ga bf x b a xSSa bba qba qSSSSSnnn nnnnnn) (1) (111 ' '1 11111111（3）其中 1111ni iq n S .定理 2 设 ' ', , , g f g f ，与定理 1 相同，则 babadt t ga bx f dt t fa bx g x g x f ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) (11 ' '1 11111111x f g x g f x b a xSSa b n nnnnnnq qSSSSSnn（4）其中 1111ni iq n S .证明 定义 ] , [ ,] , [ ,) , (b x t b tx a t a tt x K ，则 bxxabadt t f b t dt t f a t dt t f t x K ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (' ' ' babxxabxbxxaxabxxafdt a b x ffdt b x x f fdt a x x ffdt b t t f fdt a t t fdf b t df a t) )( () )( ( ) )( () )( ( ) )( () ( ) (故 babadt t f t x Ka bdt t fa bx f ) ( ) , (1) (1) ('（5）同理有 babadt t g t x Ka bdt t ga bx g ) ( ) , (1) (1) ('（6）在（3） 、 （4）分别两边同乘 badt t ga b) (1， badt t fa b) (1，并相加，可得 babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) ( babababadt t fa bdt t g t x Ka bdt t ga bdt t f t x Ka b) (1) ( ) , (1) (1) ( ) , (1 ' '] , [ b a x在上式中运用 Holder 不等式，有 babababadt t ga bdt t fa bdt t fa bx g dt t ga bx f ) (1) (12 ) (1) ( ) (1) ( babababadt t fa bdt t g t x Ka bdt t ga bdt t f t x Ka b) (1) ( ) , (1) (1) ( ) , (1 ' ' babababadt t fa bdt t g t x Ka bdt t ga bdt t f t x Ka b) (1) ( ) , (1) (1) ( ) , (1 ' ' ba qba qqbadt t f g dt t g f dt t x Ka b n nni i ni i q) ( ) ( ,1 ' '1211 1111(7)令 1111ni in qS ，有dt t b dt a t dt t x K n n n S bxS xaS ba1 1 11 1 1) , ( 11 111 111 111 1111111n Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sn Sx b a xSSSSx b a xnnnn(8)联合（7）和（8） ，可得（3）定理 1 证毕.在（3） 、 （4）分别两边同乘 ) (x g ， ) (x f ，并相加，可得
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