矩阵的广义逆及运用(2)
1 广义逆矩阵
1.1广义逆矩阵的基本概念
1.1.1 Penrose广义逆矩阵的定义
为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义.
定义1.1 对任意复数矩阵 , 如果存在复矩阵 ,满足
则称 为 的一个 Moore—Penrose 广义逆,或加号逆, 或伪逆 ，记为 .并把上面四个方程叫做 Moore—Penrose 方程, 简称 M—P方程.
1.1.2常见几种广义逆定义
由于满足 M—P 的四个方程中的任何部分方程都可以构成不同的广义逆，并且应用起来各有方便之处， 所以为方便起见，我们引入以下几种，并定义以下:
设 , 若有某个 , 满足 M—P 方程（1）～（4） 中的全部或其中的一部分, 则称 为 的广义逆矩阵.(见参考文献[3])
例如有某个 , 只要满足式（1） , 则 为 的 广义逆, 记为 ； 如果另一个 , 满足式（1）,（2），则 为 的 广义逆, 记为 ；
如果另一个 , 满足式（1）,（2）,（3），则 为 的 广义逆, 记为 ； 如果 , 则 同时满足四个方程, 它就是 我们上面所说的Moore—Penrose广义逆, 等等.
不难看出： 按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有 =15种，但常见只有 ， ， ， ， 。且以后将会看到，只有 即 是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，且每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵.
详细定义如下：
定义1.2设有复矩阵 。若有一个 复矩阵 存在，使得
(1.1)
成立，则称 为 的减号逆；
可知，当 存在时，显然 满足上式，可见减号逆 是普通逆矩阵 的推广.
另外，由 得
，
即
可见，当 为 的一个减号逆时， 就是 的一个减号逆.
定义1.3设复矩阵 ，若有一个 矩阵 ，满足：
且
称 为 的一个自反逆矩阵，记作为 ， 满足Penrose方程的（1），（2）式，所以 .
显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵 是矩阵 的 -逆，即 , 若矩阵 也是矩阵 的 -逆，即 ， 则 为 的一个自反逆矩阵.
定义1.4 设复矩阵 ，若有一个 矩阵 ，满足：
及 ，
则称 为 的最小二乘广义逆，记作 ， 满足Penrose方程的（1），（3）式，所以 .
最小二乘广义逆是用条件 对减号逆进行约束后所得到的子集.
定义1.5 设复矩阵 ，若有一个 矩阵 ，满足：
及 ，
则称 为 的最小范数广义逆，记作 ， 满足Penrose方程的（1），（4）式，所以 .
显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集.
小结：
对以上广义逆矩阵总结如下：
1. : 其中任意一个确定的广义逆, 称作减号逆, 或 逆, 记为 ；
2. : 其中任意一个确定的广义逆, 称作自反广义逆, 记为 ；
3． : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小范数广义逆, 记为；
4. : 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小二乘广义逆, 记为 ；
5. : 唯一，称作加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为 .
1.2广义逆矩阵的基本性质
以下我们重点说明Moore—Penrose 广义逆的基本性质，对于其他常见广义逆，由于篇幅原因，我们就不再说明了.
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