矩阵之和的特征值和奇异值(2)
定义 1.2 设 是复数域上的 矩阵， 的特征值的非负平方根称作 的奇异值， 的奇异值的全体记作 .
定义 1.3 设 ,
是两个 矩阵，则矩阵
称为 和 的和，记为 .
定义 1.4 为双随机矩阵，如果 为 阶方阵，且满足
.
2 矩阵之和特征值与奇异值的性质
2.1相关引理，定理
定理2.1.1 （W-H定理）
设 , 都是 实对称阵，它们的特征值（从大到小的次序排列）分别为 （ =1,2，…，n）.则 的特征值之间有而下的关系：
.
定理2.1.2 若 为正交阵，那么它的Hadmdmrd乘积 是双随机阵.
定理2.1.3 存在双随机阵 ,使得 的充分必要条件是对任意的
定理2.1.4 若 ， ，且 那么对任意的实数组 ，存在不等式 .
命题（1）不是所有的矩阵都有特征值，而矩阵都有奇异值
（2）两个数域P上的矩阵 与 之和 仍是数域P上的矩阵，则对于矩阵 :
① 若 (即矩阵A和B都为方阵),如果存在数 和数域P上的 文非零列向量 ，使得 ，则称 为 的特征值， 为 的对应特征值 的特征向量.称 为 的特征多项式，这是数域P上的一个 次多项式；称 =0为 的特征方程.
若 ,则 没有特征值.
② 无论 是否等于 ，矩阵 都有奇异值，且 的奇异值为： 的特征值的非负平方根，全体记作 .
证明
① 由于两矩阵之和仍是矩阵，即
= 且矩阵 为 矩阵，
情况一：当 时，即矩阵 为方阵，则有特征值
又根据定义1.1，即可得出结论.
情况二：当 时，根据定义1.1，其不满足条件“方阵”，
因而没有特征值.
② C是一个 矩阵，根据定义1.2，即可得出结论.
下一篇：数学史融入中学数学教学的研究