Lebesgue积分的应用
毕业论文关键词： 积分； 积分；可积
我们知道黎曼积分具有一定的局限性，用它处理有些问题显得不太方便，有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛，它比黎曼积分更加深刻，它能使我们更加方便、灵活的处理问题，揭示问题的本质.40030
预备知识
1、 （ 定理）设 为可测集， 为 上的一列非负可测函数，当 时,对任一自然数 ,有 ，令 ，则
2、 设 为可测集， 是 上的实函数.如果对于任意的 ， 作为 的函数在 上 可积，对于 的 ， 作为 的函数在 上可导且 ，这里 是 上某个非负 可积函数，则 作为 的函数在 上可导，则
3、（逐项积分定理）设 为可测集， 为 上的一列非负可测函数，则
4、（贝塞尔（ ）不等式）设 是内积空间 中的有限或可数规范正交系，那么对每个 ，成立不等式
.
5、设 是内积空间 中可数规范正交系，则对任何 ，
6、（斯捷克洛夫定理）设 是希尔伯特空间 中规范正交系，若帕塞瓦尔等式在 的某个稠密子集 上成立，则 完全.
7、（可积的第三充要条件）函数 在 上可积的充要条件是：任给正数 、 ，总存在某一分割 ，使得属于 的所有小区间中，对应于振动 的那些小区间 的总长
例1 计算 ,1、 2、 3、
解 由 定理可知：1、 = .
2、 .
3、 .
方法二：由 定理知，对任意 ，存在子集 ，使 在 上一致收敛，且 ，故
，故
.
同理可得： ， .
例2 求 ，此处 ，
解：方法一 令 ，则
， 作为 的函数在 上L可积， 作为 的函数在任何有限区间 上可导且
， ，这里 是 上某个 可积函数，故
同理可得，
方法二 令 ，因为 ，
，故 不是瑕点.
， ， .
收敛，故 收敛
对任意给定的 ，因为 ，
所以 对 一致收敛，由 的任意性知
同理可知 .
（推广形式的可微性定理）设 与 在区域 上连续，若 在 上收敛，对任意给定的 ， 在 上一致收敛，则
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