条件极值的充分条件及其应用
本论文网文对条件极值的求法与判定作了进一步的讨论．本文以一些简单的条件极值的函数为例来说明条件极值的必要性的相关内容．我们熟知的条件极值的求解方法就是在华东师范大学的书籍上给出的一种具体的条件极值的判断方法那就是拉格朗日乘数法.在此给出另外几种求解和判断条件极值的数种方法.二、相关定义2.1 二元函数极值的定义若 函 数 y x f z , 在 点 ) , ( 0 0 y x 的 邻 域 内 成 立 不 等 式 ) , ( ) , ( 0 0 y x f y x f （ 或) , ( ) , ( 0 0 y x f y x f ）就称 y x f , 在点 ) , ( 0 0 y x 取得极大值（或极小值），点 ) , ( 0 0 y x 称为函数 y x f , 的极大值点（极小值点）.2.2 三元函数极值的定义若函数 z y x f z ， , 在点 ) , , ( 0 0 0 z y x 的邻域内成立不等式 ) , , ( ) , , ( 0 0 0 z y x f z y x f （或) , , ( ) , , ( 0 0 0 z y x f z y x f ）就称 z y x f , , 在点 ) , , ( 0 0 0 z y x 取得极大值（或极小值），点) , , ( 0 0 0 z y x 称为函数 z y x f , , 的极大值点（极小值点）.2.3 条件极值的定义一般情况，求函数 ) , , , ( 2 1 n x x x f y 在满足函数方程组（限制条件）, 0 ) , , , (, 0 ) , , , (, 0 ) , , , (2 12 1 22 1n mnnx x x Fx x x Fx x x F ⑴的所有点 ) , , , ( 2 1 n x x x 的极值，就是条件极值.函数 方程组⑴称为联系方程组.2.4 拉格朗日函数被定义为, ) , , , ( ) , , , ( ) , , , , , , ( 2 1 2 1 1 2 1 n i i n n n x x x x x x f x x x L 其中的 ， ， 1 称为拉格朗日乘子. 三、基本介绍3.1 求极值的方法步骤1、求可疑点可疑点包括：稳定点 使至少某一阶偏导数不存在的点.2、对可疑点进行判断的基本方法用定义判断利用实际背景进行判断利用二阶导数下面着重介绍一下利用二阶导数求解的方法：设 0 p 为稳定点，若在 0 p 黑塞矩阵fx xfx x fx xfx xfx xfx xfx xfx xp Hn n nn n' ') (1' '' '' ' ' '' '' ' ' '02 12 2 1 22 21 1 1 为正定的，则 f 在 0 p 处取极小值；若 ) ( 0 p H 为负定的，则 f 在 0 p 处取极大值；若 ) ( 0 p H 为不定的，则 f 在 0 p 处无极值.3.2 条件极值与极值之间的关系条件极值问题的一般形式是在条件组 ) , , , ( 2 1 n x x x f y 的限制下，求解目标函数) , , , ( 2 1 n x x x 的极值.3.3 条件极值与拉格朗日乘数法由吉米多文奇一书可得这样一个命题：设 ) , , () 0 ( ) 0 (1) 0 (n x x x 和 ) , , () 0 ( ) 0 (1) 0 (n 是所求得驻点和乘子，函数 f 和 k , , 1 在点0 p ) , , () 0 ( ) 0 (1 n x x 的一个邻域内二阶连续可微.若关于 ) , , 2 , 1 ( n i dxi 的二次型j inj i j idx dx xx xL) , () 0 ( ) 0 (1 ,2 ⑴满足线性约束条件) , , 1 ( 11k i dxxdxxnni i ⑵时为正定（负定），则点 0 p 为条件极小值点（极大值点）.又若⑴在满足条件⑵时为不定号的二次型，则 0 p 不是极值点.拉格朗日数乘子法是解决条件极值的非常有力的手段，然而在该方法之前应检查雅克比矩阵满秩的条件是否成立，
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