初等变换的应用(3)
定义2：一个矩阵的下列变换，称为矩阵的初等行（列）变换：
(1)互换矩阵两行（列）的位置，（交换矩阵的第 i , j 两行（列），可记作r_i↔r_j （c_i↔c_j））；
(2)用不为零的数 k 乘矩阵的某一行（列），（可记作 kr_i（kc_i），其中k≠0）；
(3)把矩阵的某一行（列）乘以数 k 后加到另一行（列），（可记作 r_i+kr_j (c_i+kc_j)）.
注：初等变换的逆变换仍是初等变换,且变换类型相同.例如，变换〖 r〗_i↔r_j 的逆变换即为其本身，变换 kr_i 的逆变换为 r_i/k，变换〖 r〗_i+kr_j 的逆变换为r_i-kr_j.
定义3：如果矩阵 A 经过若干次初等变换后成为矩阵 B ，就称矩阵 A 等价于矩阵B，记作 A→B .
定义4：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
1．2初等变换的相关性质：
矩阵等价是矩阵间的一种关系并满足以下3条性质：
（1）反身性：即 A→A ；
（2）对称性：即如果有 A→B ，则有 B→A ；
（3）传递性：即如果有 A→B ， B→C ，则有 A→C.
定理1：任意一个 m×n 矩阵 A ，都可以通过初等变换化为如下形式
I_(m×n)= (■(1&0&⋯&0&⋯&0@0&1&⋯&0&⋯&0@⋮&⋮& &⋮& &⋮@0&0&⋯&1&⋯&0@0&0&⋯&0&⋯&0@⋮&⋮& &⋮& &⋮@0&0&⋯&0&⋯&0))
并称 I_(m×n) 为 A 在等价关系下的标准形，简称 I 为 A 的等价标准形，其中 I 中1的个数为 r(r≤min{ m,n}).
定理2：设 A 是一个 m×n 矩阵，对矩阵 A 施行一次初等行（或列）变换，相当于让矩阵 A 左（或右）乘一个相应的 m 阶（或 n 阶）初等矩阵.
初等变换的应用
2．1初等变换与逆矩阵
2.1.1逆矩阵的相关定义
定义5：对于矩阵 A ，如果存在矩阵 B ，使 AB=BA=E（E 为 n 阶单位阵），则称 A 为可逆矩阵，B 是 A 的逆矩阵.
由以上定义可以看出，如果 A 为可逆矩阵，则 A,B 都必须是 n 阶方阵.
上一篇：回归分析在实际中的应用