两点边值问题的两种数值方法的比较
毕业论文关键词 两点边值问题；有限差分方法；谱配置法
一、引言
在数学中，有限差分法（finite-difference methods，简称FDM），是一种微分方程数值方法，是通过有限差分来近似导数，从而寻求微分方程的数值解。谱配置法近三十年来得到了迅猛的发展，其优点是具有高精度，并容易处理非线性或变系数问题，也称为“高阶差分方法”。39802
本文将对于两种方法进行研究，对于两点边值问题提出数值求解格式，并给出数值结果。
本文的结构如下：论文网
第二部分，回顾差分方法的基本知识；
第三部分，对于两点边值问题提出有限差分方法；
第四部分，给出有限差分法和谱配置方法的数值结果。
二、差分方法简介
考虑二阶常微分方程边值问题：
(1)
(2)
其中 为 上的连续函数， 为给定常数，这是最简单的椭圆型方程第一边值问题.
将区间 分成 等分，分点为
于是我们得到区间 的一个网格剖分， 称为网格节点， 称为步长.
现在将方程（1）在节点 离散化.为此，对充分光滑的解 ，由Taylor展式可得
（3）
其中 表示方括号内的函数在 点取值.于是在 可将方程（1)写成
（4)
其中
（5)
显然，当h足够小时， 是h的二阶无穷小量.舍去 ，就得到逼近方程（1）的差分方程：
（6）
其中 ， .称 为差分方程（6）的截断误差.利用差分算子 ，可将（4）写成形式
（4）＇
而在节点 处，微分方程（1）为
以此与（4）＇相减，得
（7）
所以 是用差分算子 代表微分算子 所引起的截断误差，它关于 的阶为
差分方程（6）当 时成立,加上边值条件 , ,就得到关于 的线性代数方程组:
(8)
(9)
它的解 是 于 的近似. 称(8),( 9)为逼近(1),(2)的差分方程或差分格式.由于(8)是用二阶中心差商代替(1)中二阶微商得到的,所以也称(8)为中心差分格式.
三、变系数两点边值问题的差分格式的建立
考虑两点边值问题：
（10）
（11）
假定 是给定的常数.
首先取 个节点：
将区间 分成 个小区间：
于是得到区间 的一个网格剖分。记 称 为网格最大步长.用 表示网格内点 的集合， 表示内点和界点 的集合.
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