摘要在本文中，我们通过阶的估计理论，用例题方式去讨论函数极限、广义积分及级数的敛散问题，使复杂的问题简单化，总结阶的估计常用方法。本文给出的方法和思路，实际上是一些基本的判断问题师常用模型，是在学习过程和平时练习过程中所总结的经验，一方面是教材中的部分内容的总结，另一方面从多角度的思考。47493

In this paper， we probe rank estimation and propose some theorem and property，and discuss the application of the rank estimation in mathematic analysis。

We introduces the definition of order and uses typical examples to show how the technique of the estimation of order can determine the convergence pergence of improper integrals and infinite series。

毕业论文关键词：阶的估计  函数极限  广义积分敛散性  级数敛散性

Keyword: Estimation of the orders；  functional limits；  Convergence of the series

目    录

一、引言 4

二、阶的估计在级数收敛问题中的应用5

三、阶的估计在判定广义积分的收敛的应用 9

四、阶的估计在计算极限中的应用 11

四、参考文献15

五、致谢15 

一、引言

在进一步学习数学分析时，为了方便研究无穷小量和无穷大量，引入了E.landau符号：o、O、～。【1】通过这些符号对给定的变化过程中对变量的变化状态进行比较，可以使问题的讨论变得更加简单。显而易见，数学分析中的基本概念就包括阶的概念，阶估计方法也是在研究问题简化问题中的一个十分常用和重要的手段。它应用的邻域十分广泛，如：判断级数的敛散性，判定广义积分的收敛性，计算某些极限以及利用这些方法对实际问题进行应用。而且，还能用于讨论某些重要的渐进展开式的应用。

本文给出的方法和思路，实际上是一些基本的判断问题师常用模型，是在学习过程和平时练习过程中所总结的经验，一方面是教材中的部分内容的总结，另一方面从多角度的思考，并能建立起模型思想和应用意思。通过将这些建模思想融入教学，不仅使我们的解题思路变得开阔，而且使我们的数学思维及应用能力的发展和训练。

定义1    若  =0，则称 当 时是无穷小量，记为

 = ， 

特别地，若数列{ }满足  =0，则称 当n→∞时是无穷小量，记为

 = ，n→+∞

定义2    若  = 则称若  当 时是无穷大量，特别地，若数列{ }满足  =0，则称 当n→∞时是无穷大量。

定义3    若  =0，则称 对于 当 时是无穷小量，记为

 =0（ ）， 

若 对于 都是无穷大量，则称 是比 低阶的无穷大量。

若 对于 都是无穷小量，则称 是比 高阶的无穷小量。

定义四    若  =1，则称 对于 当 时是等阶的，记为

 ~ ，( )或 =  ，( )

定理一    若在 某个邻域内 存在，且 ，则

 在 的领域内成立。这是泰勒公式的一般推论。[2]

泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，我们可以使用泰勒公式，可以逐项进行幂级数的求导和积分，可以用来估计计算函数的值。函数可以利用它来展开成多项式，复杂函数简单初等函数，这是求函数极限和无穷小阶的估计的有效工具。根据泰勒公式的展开，我们可以对无穷小进行的估计，进而讨论级数敛散性、讨论广义积分及级数的敛散、计算函数极限。

由定理一可得下面推论：