摘要：本文主要讨论高斯公式的推广及其在曲面积分计算中的应用．第一章给出弱化条件下的高斯公式，第二章给出了推广后的高斯公式在曲面积分计算中的应用．本文所得推广的高斯公式包含了教材中的结果．48786

毕业论文关键词：高斯公式；曲面积分

Extension and Application of Gauss formula in the surface integral calculation

Abstract: This paper manly discuss the promotion of the Gaussian formula and its application to surface integral calculation. The first chapter gives a Gaussian formula under weakened conditions, the second chapter gives the application of Gaussian formula to surface integral calculation after promotion. In this paper, the generalization of the Gauss formula contains the results of the teaching materials.

Key words: Gaussian formula；Surface integral calculation

目    录

摘要 2

引言 3

1.预备知识 4

1.1相关概念 4

1.2曲面积分的计算方法 5

2.高斯公式的推广 5

2.1引理及其证明 5

2.2高斯公式的推广 6

3.高斯公式在曲面积分计算中的应用 8

参考文献 17

致谢 18

高斯公式的推广及其在曲面积分计算中的应用 引言

重积分中有一个表明空间区域上三重积分和在其边界面上的曲面积分之间关系的公式，这个公式非常重要，它就是高斯公式，但是高斯公式在应用中仍有很多限制，本文就是在对这一问题进行研究，以做到弱化高斯公式的条件，使其在应用中更加方便，简化我们的计算．

在学习中有不少学生因为对高斯公式缺乏透彻的理解并且对高斯公式的条件把握不准确，所以不能灵活运用高斯公式，本文将根据这一问题，将高斯公式和几个例题结合，以达到让我们更深入的了解高斯公式的应用条件以及应用技巧的目的．

在学习实践中高斯公式的应用非常广泛，它不光在是数学中一个重要的公式,还在物理方面有用处．如今国内外在研究高斯公式的推广和其在曲面积分的应用上,已经有了许多研究成果，尽管很多文献对高斯公式或者曲面积分的问题进行了讨论,并提供了十分有用的解决方法,可是都比较分散,没有进行详细的总结．

本文中第一部分介绍了高斯公式和曲面积分的相关概念．使得对高斯公式和曲面积分的基本知识有了初步的了解．第二部分给出了弱化条件下高斯公式的推广及其证明过程,第三部分给出几个例子，并通过不同题目不同的解题方法，给出高斯公式在曲面积分计算中的应用技巧．

1.预备知识

1.1相关概念

（1）高斯公式

设函数 定义在空间区域 上，其中 是由封闭曲面 所围成，且 是分片光滑的，如果函数 在 上连续，并且存在一阶连续偏导数，则

 其中 取外侧，即为高斯公式．

高斯公式沟通了空间区域上的三重积分和在其边界曲面上的第二型曲面积分之间的联系．

计算沿封闭曲面S的曲面积分时，经常要利用高斯公式计算，但高斯公式的成立条件比较严格，它不仅要求函数 在 上连续，而且函数的一阶偏导数 也要在 上连续，下面我们对高斯公式的条件略加改进，假设 在 内具有有限个间断点的条件下，高斯公式仍然成立．