摘  要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，本文主要讨论了分块矩阵在行列式计算，矩阵的秩，矩阵求逆，解线性方程组，正定矩阵以及矩阵的特征值方面的应用.

毕业论文关键词：分块矩阵，矩阵的秩，矩阵的逆，正定矩阵53504

Abstract: Block matrix has a wide application in the higher algebra .We mainly discussed the application of block matrix on calculating in the matrix determinant, inverse matrix, the solution of linear equations, positive definite matrix and characteristic value of the matrix in this paper .

Key words: block matrix,rank of matrix,inverse of matrix,positive definite matrix 

目  录

1  引言4

2  分块矩阵4

2.1  分块矩阵的概念4

2.2  常见分块初等矩阵的形式4

2.3  符号约定4

3  分块矩阵在计算题中的应用5

3.1  利用分块矩阵计算行列式5

3.2  利用分块矩阵求解线性方程组6

3.3  利用分块矩阵的方法求可逆矩阵的逆9

4  分块矩阵在证明题中的应用10

4.1  利用分块矩阵证明行列式11

4.2  利用分块矩阵证明有关矩阵的秩的等式(或不等式)11

4.3  利用分块矩阵证明实对称矩阵的正定性12

4.4  利用分块矩阵证明有关特征值的问题13

结束语 15

参考文献 16

致谢 17

1  引言

在高等代数中，矩阵分块方法是一种很实用，很高效的方法..研究许多问题都要用到它，特别是在处理级数较高的矩阵时，分块之后，使各矩阵之间或矩阵内部之间的关系变得更清楚.本文分块矩阵在证明行列式等式、证明有关矩阵的秩的等式、证明实对称矩阵的正定性、证明有关特征值的问题、求矩阵的逆、求解齐次线性方程组、计算行列式等方面的应用做一研究，每个部分都给出了一些实用性较强的定理和经典例题，通过这些具体实例的应用可以看出分块矩阵在处理相关问题上的简便性和灵活性.

2  分块矩阵

2.1  分块矩阵的概念 

  有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块.

设 是一个 矩阵，若用若干横线条将它分成r块，再用若干纵线将它分成s块，于是，我们就得到了一个有 块的分块矩阵，

 ，在这里 表示的是一个矩阵， 可以看成以子块 作为元素的矩阵.

2.2  常见分块初等矩阵的形式 

1）对 分别进行两行、列对换得 ， ；

2）对 某一行左乘一个矩阵非零 得 ，某一列右乘一个非零矩阵 得 ；

3）对 某一行加上另一行的 （矩阵）倍数得 ，某一列加上另一列的 （矩阵）倍数得 .

2.3  符号约定     

 本文用“ ”（“ ”）表示将分块矩阵的第 块行 列 的左 右  倍加到第2块行 列 上；用“ ” 表示把分块矩阵的第一块行 列 和第2块行 列 互换；用   表示用可逆矩阵 左 右 乘分块矩阵的第1块行 列 .还约定用 表示单位矩阵，用 表示 阶单位矩阵.

3  分块矩阵在计算题中的应用

3.1  利用分块矩阵计算行列式

定理1   设 、 、 、 都是 阶方阵，其中 ，且 ， .

定理2   设 、 都是 阶方阵，则有 .

定理3   设 是一个四分块 阶方阵，其中 为 阶方阵， 为 矩阵， 为 矩阵， 为 阶方阵，则有