摘  要：本文给出了柯西不等式的推论、等价形式和积分形式，并重点研究了柯西不等式在众多方面的应用，其中列举了在解方程组、不等式证明、等式证明、解三角问题、求参数范围、解微积分问题、求最值问题、求平面解析几何问题中的应用,并通过具体的实例阐述了柯西不等式在解题中的重要性.55145

毕业论文关 键 词：柯西不等式,等价式,应用

Abstract: This paper gives the inferences of Cauchy inequality, equivalent and integral forms. It focuses on the application of Cauchy inequality in many aspects, including in the application of equations, the inequality proof, proof of equality, trigonometry, parameters range, solution calculus problems, solving the most value problem and the plane problems of analytic geometry. Through specific examples, it discusses the significance of Cauchy inequality in solving problems.

Keywords: Cauchy inequality,equivalent,application

目  录

1  引言 4

2  柯西不等式 4

2.1  柯西不等式的推论 4

2.2  柯西不等式的等价式 5

2.3  柯西不等式的积分形式 6

3  柯西不等式的应用 6

3.1  在解方程或方程组中的应用 6

3.2  在证明不等式中的应用 8

3.3  在证明等式中的应用 9

3.4  在解三角问题中的应用 10

3.5  在求参数范围问题中的应用 11

3.6  在解微积分问题中的应用 12

3.7  在求最值问题中的应用 14

3.8  在解平面几何问题中的应用15

结论 17

参考文献18

致谢 19

1 引言

在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系也是最基本的数学关系，不等式在数学研究和数学应用中起着重要的作用.不等式问题覆盖面广、综合性强，是当今各层次数学竞赛的热点和难点之一，而不等式问题的处理更以“多入口，方法巧”见长,并且许多问题都能通过应用柯西不等式来解决.

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它往往具备结构对称，有较强的应用性，深受大众的喜爱.它常常作为重要的基础去架设条件与结论间的桥梁，是发现新命题的重要工具，是一个极有魅力的不等式.如果灵活巧妙地应用柯西不等式，往往可使一些难题迎刃而解，甚至收到出奇制胜、事半功倍的效果.因此，对柯西不等式的探究是有益的.在解题过程中，灵活巧妙地应用柯西不等式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以使一些难以解决的问题得以简捷地解决，从而可以节省解题时间，提高效率.当然，我们在解题中并不一定能看出它的直接应用，需要适当地构造使用它的环境，以挖掘出隐含的联系后达到最终解题的目的.本文拟在介绍柯西不等式及其推论、等价式，以及柯西不等式的应用，并通过一些实例讲述了它在各方面的应用. 

2 柯西不等式

   如果  为两组实数，则

              ,            (2.1)

当且仅当 时等号成立，我们称不等式(2.1)为柯西不等式.

2.1 柯西不等式的推论

柯西不等式是数学中的一个非常重要的不等式，具有极强的应用性，深受人们的喜爱.所以，若将此定理作进一步剖析，归纳出它的推论，将会有众多的收获.

推论   对任意两个实数列 ， ，我们有

      .                  (2.2)

推论   对于任意一个实数列 ，我们有