先从简单的入手,若模为 的复数 如果写成 的形式,一方面,由于 的形式相差不是很大,其次 在复数的乘方法则中,应该仅是辐角的 倍,虚数单位并没有也要 倍,因此虚数单位与辐角不可能是相加关系.而有可能是相乘的关系 .下面就来审查乘法、除法和乘方法则能否相符.
 , ,   乘法和除法保持“模相乘除、辐角相加减”、乘方保持“模
的 次方、辐角的 倍”的基本特征.
下面来解决应该选用哪个常数作为底数?若我们将 形式化地看做 与 的“二元函数”,数学是“形式化的学科”,所以,一些形式化地性质应该“形式化”地保持不变.接下来我们对 中 形式化地求“偏微分”.
 = = = .于是 .
这样我们利用不太严格的推理得复数的指数表示形式
 .
而指数形式的严格证明是通过泰勒级数法,将函数 写成泰勒级
数形式 ;
将 带入可得
通过复数的三角形式与指数形式,我们可以得到以下两个公式 .
 , .
这两个公式被统称为欧拉公式.由欧拉公式可得
 , .
    在复数的指数形式中,令 , ,就得到  或 .综上可知复数指数形式有以下性质.
设 , ,则  , , .复数 的 次方根   .
至此,我们得到了复数的 种表示:几何表示、向量表示、代数表示、三角表示和指数表示.它们在讨论问题时给予我们的方便是不同的,要因问题而异.例如,对二复数作加减运算时用代数式较好,对二复数作乘除运算时用三角或指数式较好.而复数的几种表示方法,根据讨论不同问题时的需要,可以构造复数以及互相转化来解决问题.
2复数几种表示形式的相互转换
2.1代数形式与三角形式的相互转换
  在利用复数各种形式相互转换解题的问题中,代数形式与三角形式的转换在数学问题中是最为常见的,所以了解和掌握代数形式和三角形式的转换是非常重要的.
1.复数的虚部和实部是实数表示的复数化为三角形式
它的算法是通过点 所在象限,判断 的坐标位置,根据公式  和 ,求出角 和模 ,从而得到复数的三角形式.
例1 将下面复数化为三角形式.
    ⑴ ,           ⑵       
解 ⑴由于 ,所以
 . .
又因为 在第 象限内,所以 终边在 象限, .故
 .
⑵  ,所以 ,则
 , .
又点(-1,1)在第 象限内,所以角 终边在第 象限, .故
 .
2.复数虚部和实部是由三角函数表示的复数化为三角形式
形如 的复数( ),与复数三角形式相比,只有中间的符号不满足要求,解该类题可先确定此复数所对应的点在哪个象限,然后利用三角函数诱导公式化为三角形式.
例2 将 化为三角形式.
解  
当 时, , ,所以
当 时, ,故  
形如 的复数(其中 ),也是运用三角函数的诱导公式将其转化为复数的三角形式.
例3 将 化为三角形式.
解  ,
显然 ,故有
 .
3.三角形式化为代数形式
由三角形式可知角 所在象限,由此可以确定 值的正负以及的值,联立 即可解出 的值,从而得到复数的代数形式.
例4 将 化为代数形式.
解 由题可知 , 因为 终边在第 象限,所以     .
故 .
   复数代数形式和三角形式的转化虽然简单,但不能忽略一些基本要求,作为复数的三角形式,必须
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