环的零因子的探讨+文献综述(2)
为环 上的一个 矩阵.当 时，称 为环 上的一个 阶方阵.
环 上的全体 阶方阵关于方阵的加法与乘法作成一个环.这个环用 表示，并称为环 上的 阶全阵环.
当环 有单位元时， 也有单位元，即
（1是环 的单位元）.
复数域 上 阶矩阵对矩阵的加法和乘法作成一个环，称为复数域 上的 阶全阵环，记为 .若 ， 且 ，但 ，则称 分别为 的左零因子和右零因子，统称为 的零因子.一般情况下，可把求零因子转化成求矩阵方程 和 的非零解，其中未知矩阵 .
定义1.4 设 ，则
1）当 时，称 是 的左零因子；
2）当 时，称 是 的右零因子；
3）当 即是 的左零因子，又是 的右零因子时，称 是 的零因子.
显然， 阶零矩阵是所有 阶方阵的零因子.方阵 的零矩阵以外的零因（如果有的话），称为 的非零零因子.
另外，所有 阶方阵都是 的左（右）零因子 是零矩阵.
引理1.1 若 是 的左零因子，则 的列向量一定是 方程的解.
证明 对 分块，令 ， 为 的第 列.由 ，得
即 ， ，也即 为方程 的解.
推论1.1 若 则 的列向量是方程 的解.
定理1.1 设 ，若 是 的左零因子，则秩 秩 n.
证明 令 ，
为 的列向量.令 {方程 的全部解}，由引理可得 ，根据替换定理可证明 的极大线性无关组所含向量的个数一定小于或等于 解空间中基础解析所含向量的个数，
所以 秩 秩 ，
即 秩 +秩 n.
2. 环的零因子的性质
2 .1 一般环的零因子的性质
数环以及数域上的多项式环，都无零因子.在无零因子的环中，关于乘法的消去律成立.
定理2.1.1 在环 中，若 不是左零因子，则
若 不是右零因子，则 证 由 得
由于 且 不是左零因子，故
由于 不是右零因子且 ，故 .
如果对环 中任意元素 （1）成立，则称环 满足左消去律；若（2）成立，则称 满足右消去律.
推论2.1.1 若环 无左（或右）零因子，则消去律成立；反之，若 中有一个消去律成立，则 无左及右零因子，且另一个消去律也成立.
证 由于当 无左零因子时， 也无右零因子，故由定理2.1.1既得消去律成立.
反之，设在 中左消去律成立，且
， 即 ，
则 ，即 无左零因子，从而 也无右零因子，于是右消去律也成立.
推论2.1.2 有单位元1的环 中零因子不是可逆元，可逆元也不是零因子.
证明 设 是 的零因子，则存在 ，使得 （或 ).若 是可逆元，则 （或 ），即 ，这与 矛盾，故零因子不是可逆元.
设 是 的一个可逆元，假设在 中存在 ，使 .又 可逆，所以 ，同理可证 的情况，故 不是零因子.
推论2.1.3 设 是有单位元1的环， 是 中的右逆元的元素，则下面三个条件等价：
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