复方阵的酉相似+文献综述(2)
(1) Hermite对称性：对任意 V， = ，这里 表示复数 的共轭复数；
(2)恒正性：对任意非零向量 V, >0；
(3)共轭双线性性：对任意 V和任意 C，
；(1.1)
；(1.2)
则二元复值函数 称为复线性空间V的一个内积.
容易验证，复线性空间V的内积 具有下列性质：
性质1 对任意 V， 0 ；
性质2 对任意 V和 C， ；
性质3 (Cauchy-Schwartz)对任意 V， ，并且等号当且仅当向量 与 线性相关时成立.
复线性空间V的内积 的方阵表示.
设{ }为n文复线性空间V的一组基.V中向量 和 可以唯一的表示为 .
则向量 和 的内积 可表示为
则 阶方阵G称作内积 在基｛ ｝下的Gram方阵.记 ,则式（1.3）可写为 ,其中 是 矩阵y的共轭转置.
内积 在基｛ ｝下的Gram方阵G具有下面的性质：
(1)Gram方阵G是Hermite方阵，即 = .
(2)对任意非零行向量 .
设H是n阶Hermite方阵.如果对任意非零行向量 有 ，则称H为正定Hermite方阵.由Gram方阵的上述性质可得，Gram方阵G是一个正定Hermite方阵.
反之，设G是一个n阶正定Hermite方阵.
在n文复线性空间V的基{ }下，向量 V的坐标分别记为 .
.
定义V上的二元复值函数 为 .则容易验证，V上二元复值函数 满足Hermite对称性，恒正性以及共轭双线性性.则二元复值函数 是复线性空间V的一个内积.这表明,在n文复线性空间V中取定一组基｛ ｝之后，内积 便和V在这组基下的Gram方阵建立了对应关系.这一对应是V上所有内积的集合到所有n阶正定Hermite方阵集合上的一一对应.
现在讨论n文复线性空间V的一个内积 在不同基下的Gram方阵之间的关系.假设内积 在V的基{ }与{ }下的过渡矩阵为P= ，即
( )=（ ）P.
所以上式即为 .
一般来说，设 与 是n阶Hermite方阵.若存在n阶可逆复方阵P,使得 = ,则称方阵 与 是复相合的.上面的讨论表明，同一个内积 在不同的基下的Gram方阵是复相合的.
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