摘要：在线性代数以及量子力学运用中，阶梯算符即升算符和降算符集合，它可以增减另一算符的本征值。在量子电动力学中，当电磁辐射量子化以后，辐射场量子就是光子，升算符被称为产生算符，降算符被称为湮灭算符。阶梯算符在量子力学的计算中非常有用，最多的是在角动量算符和线性谐振子哈密顿本征值方程求解方面的应用。它为解题提供了另一种很有意思的思路，通过阶梯算符，我们可以在不具体解微分方程的前提下，解决力学量算符的本征值问题。本文将探讨阶梯算符的几种应用并介绍一种构造阶梯算符的简便方法。90881

毕业论文关键词： 阶梯算符，角动量算符，线性谐振子，本征值

Abstract：In linear algebra and quantum mechanics, we often combine the raising operator and the lowing operator as ladder operators, which can increase or decrease the eigenvalues of another operator respectively。 In the electric quantum mechanics, after the electromagnetic radiation quantization, the radiation field quantum is photon。 The rising operator is called the generation  operator  and  the  lowing  operator  is  called  the  annihilation  operator。  The ladder

operator is very useful in the calculation of quantum mechanics, most of which is the application of the angular momentum operator and the linear harmonic oscillator Hamiltonian eigenvalue equation。 By the ladder operator, we can solve the eigenvalue problem of the  mechanical quantity operator without the solution of the differential equation。 We will explore several applications of ladder operators and introduce a simple way to construct ladder operators in this article。

Keywords：ladder operator, angular momentum operator, linear harmonic oscillator, eigenvalue

目录

1 前言 3

2 阶梯算符的构造方法 4

3 坐标与动量的阶梯算符 5

4 角动量的阶梯算符 6

4。1 轨道角动量阶梯算符 8

4。2 自旋角动量阶梯算符 8

5 谐振子的阶梯算符 9

5。1 谐振子阶梯算符构造 9

5。2 谐振子阶梯算符应用 10

结论 13

参考文献 14

致 谢 15

1前言

在量子力学中，阶梯算符其实就是升算符和降算符的总和，算符的本征值可以通过阶梯算符来进行增加或减少。历史上，量子体系的能量本征值问题，很早就用代数方法来求解本征值。而我们现在提到的阶梯算符法就是代数方法的一种，为薛定谔最早用在解决谐振子问题上。阶梯算符的运用非常广泛，最多的是在角动量算符以及线性谐振子哈密顿本征值方程求解方面的应用。而谐振子常用于描述固体中晶格的小振动，在这里上升算符和

下降算符又称为振动声子的产生算符和湮灭算符，而|0〉则视为声子真空态。在量子电动力学中，电磁辐射场量子化以后，辐射场量子就是光子，而上升算符和下降算符就是光子的产生算符和湮灭算符。以往通常利用级数方法来解二阶微分算符的本征值方程，但是由于数学上的原因，在解题时有一定的困难。通过阶梯算符的引入，大大简化了计算过程，可以简洁地解决力学量算符的本征值问题。在占有数表象中，都可以用两个基本算符来表示任何一个力学量算符，把这个原理应用到解具体的薛定谔方程中去时，那么原来是一个二阶微分算符的本征方程，就可以分解成两个相互伴随的一阶微分算符乘积的本征方程，最后仅需求解一阶微分算符的本征方程，就能获得所需的本征值以及本征函数。这两个相互伴随的一阶微分算符，就是所谓的阶梯算符，这种方法也称为算符因式分解法[1]。