摘要：在高阶相互作用下，对于两个原子有效相互作用势，我们得到严格的一维和二维平均场方程中的雪茄和薄煎饼型Bose---Einstein凝聚，然而其源于形状依赖约束修正。我们展示了高阶相互作用是如何修正强定域粒子之间相互作用的。更令人惊讶的是，我们发现通常应用于强约束方向的高斯型假设对于雪茄型BEC情况是不适用的，而应该采用Thomas---Fermi型替代。本文将根据推导出的平均场方程，在存在接触相互作用和HOI的情况下进行对托马斯-费米密度的分析，并且考虑了大接触相互作用和HOI的近似。对于一维，二维以及三维的箱势和简谐势阱，我们推导出了解析的托马斯-费米密度，其主要取决于接触相互作用和HOI之间的竞争。

关键词：Bose-Einstein凝聚；维度约化；高阶相互作用；费米近似；修正Gross-Pitaevskii方程

Abstract：Under the high order interaction, for the effect interaction of two atoms, we obtain the strict one-dimensional and two-dimensional mean field equations in the cigar and pancake-type Bose-Einstein condensate, but it is derived from the shape-dependent constraint correction. Then we show how higher order interactions correct the interaction between strongly localized particles. Even more surprising is that we find that the Gaussian hypothesis, which is usually applied to strong constraint directions,  does  not  apply  to  cigarettes  BEC,  but  should  be  replaced  by Thomas

–Fermi approach. Based on the derived mean field equation, the analysis of Thomas-Fermi density is carried out in the presence of contact interaction and HOI, and the approximation of large contact interaction and HOI is considered. For one-dimensional, two-dimensional, and three-dimensional box potentials and simple harmonic wells, we derive the analytic Thomas-Fermi density, which depends primarily on the interaction between the contact interaction and the HOI.

Keywords: Bose–Einstein condensate; dimension reduction; higher-order interaction; Thomas–Fermi approximation; modified Gross–Pitaevskii equation

目录

第一章绪论 1

1.1 孤子的基本概念及性质.1

1.2 孤子研究的意义.2

1.3 本文研究的内容和方法.3

第二章理论基础的计算方法 4

2.1量子统计物理学4

2.2玻色—爱因斯坦（Bose-Einstein）凝聚4

2.3薛定谔及其薛定谔方程5

2.4托马斯—费米（Thomas-Fermi）模型6

2.5Gross-Pitaevskii方程（GPE）..6

2.6BEC中的孤子7

第三章计算方法 9

3.1引言.9

3.2目标方程9

3.3F膨胀法和耦合模量相变..9

3.4计算的物理意义10

3.5总结与分析.11

第四章结论 12

致谢 15

参考文献 16

第一章绪论

1.1孤子的基本概念及性质

在非线性物理的快速发展时代,这种新的科学思想所反映的自然现象的理论引起学者们的关注与研究。孤子是理论中的重要的组成部分。孤子(孤波),也被称为孤立子,这是一个非常特殊的孤立波,它通常指的是非线性偏微分方程的分类,很多解决方案的特征特性,及其对应的物理现象。这些性质中主要包括两个特征:第一个特征是能量相对集中在一个比较小的区域;第二个特征是两个孤子间的相互作用下,会出现弹性散射的现象(如下图1.1所示),由此可见,孤子同时具有波和粒子的性能,在自然界中,这种现象也很普遍。最近几年里,研究学者们对孤子的概念进行了更进一步的推广,他们认为,孤子也是集能量在一个比较小的区域内的静态解。我们总能见到的一维孤子,还有黑孤子,亮孤子,结孤子以及灰孤子等等,此外还有二维的漩涡,线孤子等等[1.2]。在数学方面,具有以下两种不同性质的特殊解称为孤子解: