有限元法的基本思路是:先将计算对象离散化处理,即划分为有限个小单元。并构造适当的位移函数,然后根据最小位能原理把泛函求极限的问题化为等效的线性方程组,解该线性方程组即可求得节点位移,根据所得节点位移便可进一步计算所需的应力与应变得数值解。与一维问题相类似,对于二维、三维问题的有限元法也都是遵循这一基本思路。

为了清楚地说明有限元法的概念,通过一简单的受力杆来说明有限元法进行构件压力分析的基本思路。图2-2a所示是长度为l,截面积为A,弹性模量为E的均质等截面拉杆,一端固定,一端受拉力F,这是材料力学中的简单拉伸问题。

               图2-2                                     图2-3

以下分几步来说明有限元法的基本思路:

(1)把杆划分成有限小段(n-1段),如图2-2b所示,段与段之间以节点[ , ],(i=1,2,……n-1)相连。

(2)构造位移函数u(x),根据材料力学的知识可知,对于等截面拉杆,u(x)= ,且满足边界条件:u(0)=0;u(l)=Δl。

有了位移函数即可求出应变函数ε= 和应力函数σ=Eε=E 。论文网

然而实际工程问题往往不是这么简单,例如图2-2c所示变截面的直杆,就很难找到适合于整个计算区域并满足边界条件的位移函数,这时可以将它分成若干个小段,每段之间用插值函数来构造位移函数,这样就使每个单元中的位移都可以用节点位移和节点坐标来表示。例如对于 单元[ , ],两端节点位移为 , ,若单元内取为线性插值函数,如图3-3a所示,则有:

                (2-1)

如果各节点的位移均为已知,则对整个杆件可构成图2-3b所示的折线线图。

(3)弹性体的位能。对于直杆单元体,受载后的变形能为

                  (2-2)

将式(3-1)代入式(3-2)则可写成

对整个杆则有

                                  (2-3)

上式即为变形能与节点位移的关系式。

弹性体的总位能还应包括节点载荷(外力)的位能,其表达式可写为V=-W=-Fu对于所有外力位能与节点位移的关系式则为

                 (2-4)

因为弹性体的总位能包括变形能和节点的载荷位能这两部分,故可写出弹性体总位能与节点位移的关系式

      (2-5)

(4)利用最小位能原理导出关于节点位移的线性方程组

弹性力学中的最小位能原理,是指受载后处于平衡状态下的弹性体,在其一切可能的变形形态中,真实的变形形态应当使弹性体的总位能Φ为最小。

根据上述原理,各节点的位移 不是任意的,而应该是一切可能位移中使弹性体总位能为最小者,因此,这是一个求泛函数Φ(总位能)极值的问题,将Φ分别对各个节点位移取偏导数为零,则可得

      (i=1,2……n-1)  (2-6)

这样即把二次函数求极值的问题转化为一个等效的线性方程组。若令

Δi= ,li= 以及 ,则方程(2-6)为

                                               (2-7)

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