2  电磁场中势函数的概念

为了简化对电磁场问题的求解方法，依据电磁场方程人为地引入辅助势函数，这些势函数有时具有明确的物理意义，或者间接的物理意义，而有时并不代表什么物理量，只能作为求解问题的辅助工具。例如

 ，                   (1)

(1)式中的前者代表静电场中两点之间的电势差，即在电场力的作用下从A点到B点移动单位正电荷电场力所做的功，具有直接的物理意义；但在时变场中，标势 不仅与电场 有关，而且还与磁场 有关，故不再具有电势的物理意义。对于(1)式中的后者，则说明磁矢势 的闭线积分，即环流就是通过该回路的磁通量，具有间接意义的物理解释。再者，赫兹矢量等势函数其物理意义将是不明确的。

引入辅助势函数解决问题，存在不唯一性，有过多的自由度，即有规范变换的自由，例如， ， 。究其原因，主要是对于 没有物理规律的限制，故留有人为选择的空间，存在洛仑兹规范条件、库仑规范条件等之说，但这不影响场量的结果。即使对于静电场中的电势，也有电势零点选择问题，但 与 对应同一个电场 ，其中 为常量。

尽管使用势函数存在不唯一性等缺憾，但在此处需要说明势函数方法具有一定的可选优越性。以下举例对场矢量、势函数各自所满足的方程或计算公式进行比较，从中领悟到用势函数研究问题的方便与省力之处。例如，从以下麦克斯韦方程组出发

                                         (2)

可以得到场矢量满足的波动方程。在均匀各向同性线性介质中，有   成立，通过对(2)式中的第二式取旋度并用第四式及第一式，同样对第四式取旋度并用第一式及第二式，可得场矢量 满足的波动方程为

                              (3)

另一方面，依据(2)式，通过引入势函数 ， ，可以导出势函数 所满足的波动方程

                                     (4)

将(4)式与(3)式比较，可见两组方程的右侧“源”项差异很大。(4)式右侧直接与电荷、电流 联系，而(3)式则不然，其右侧含有 算子的运算项： 、 等，这将给方程的解答带来直接的、极大的困难。可见选用势函数 求解比直接求解场矢量 方便。再如，对于静电场、静磁场，当电荷、电流分布在有限区域情况下，利用叠加原理计算场结果时，有公式

 ，             (5)

其中 。对应的势 所满足的泊松方程 、 之特解为

 ，                 (6)

比较(5)式与(6)式，可见(6)式的被积函数明显比(5)式简单，给计算带来不少方便。如此种种，不难发现势函数方法的可取之处。

3  稳恒场的常见势函数方法

3.1  静电场的标势

对于静电场，麦克斯韦方程组(2)式简化为

 ，                                   (7)

第一式表示电位移 的源是自由电荷分布 ，第二式表示静电场的无旋性。静电场的重要特性之一是它的无旋性或保守性，由无旋性可以引入势函数 描述静电场。保守性的积分形式是电场沿任一闭合回路L的环量等于零文献综述

                                                 (8)