第二章 黑洞的基本性质

本章主要主要介绍黑洞的分类，黑洞温度，黑洞的表面积与熵，以及黑洞热力学四大定律，主要参考赵峥和刘文彪的《广义相对论基础》，俞允强的《广义相对论引力》，王永久的《经典黑洞和量子黑洞》，赵峥的《黑洞的热性质与时空奇异性》等著作。

第1节 黑洞的分类

自上个世纪60年代末以来，关于黑洞的研究在理论上有了很多的突破，下面介绍几种常见的黑洞类型[16,17]。 Schwarzschild首先在1916年求出了爱因斯坦引力场方程的一个解，现在称为Schwarzschild解，Schwarzschild解描述了三维球对称引力源外部的引力场，在球坐标中Schwarzschild度规为

            (2。1)论文网

在r=0处在r=2GM处度规存在奇异性。后来研究发现r=2MG处的奇异属于坐标奇异，在那里时空本身并不存在奇异性。r=2GM处的奇异是坐标选择不当造成的，如果选择乌龟坐标或者克鲁斯卡坐标该出的度规奇异性将消失。而r=0处的奇异是时空固有的奇异，时空曲率在那里发散，因此r=0处的时空奇异不可能通过坐标变换消除。

定义一个有时空曲率张量构成的标量

                                    （2。2）

可以用该标量来衡量时空是否存在奇异性，不难看出在r=0处该标量发散。标量在坐标变换下仍保持不变，所以（2。2）式不管在什么坐标下都发散。也就是说，r=0处是Schwarzschild时空内在固有的奇点。r=2GM虽然不是时空固有的奇点，但仍具有重要意义，实际上它是Schwarzschild 黑洞的视界面。

Reissner和Nordstrom 利用爱因斯坦-麦克斯韦方程求出了带点球体外的时空度规。质量为M，总电量为Q的星体外的引力场为

            （2。3）

R-N 度规表明引力源的电荷会影响引力场的分布。电荷会激发电场，而电场具有能量，亦即质量，所以电荷也有引力效应。

R-N黑洞的视界坐标为

                        （2。4）

 表示外视界， 表示内视界。

黑洞的视界定为法矢量长度为零的超曲面（或类光超曲面），这种超曲面法矢量本身并不为零，但法矢量的长度为零，也就是说法矢量躺在它的切平面上。

后来Kerr 找到了旋转黑洞时空的真空场方程的解，它的线元可以表示为

       （2。5）

其中

                                  （2。6）

                                   （2。7）

M表示引力源的质量，a=J/M 表示单位质量的角动量。Kerr 度规描述的是旋转的引力源的形成的度规。如果这种旋转引力源的线度能非常的小，它也将形成黑洞，这类黑洞叫Kerr黑洞。

一般稳定的黑洞的引力场由Kerr-Newman 度规描述，其不变线远仍具有（2。5）式的形式，但（2。6）式应该被下式代替

                           （2。8）

这是最一般的稳定黑洞，称为Kerr-Newman黑洞，其视界为

                         （2。9）

Kerr-Newman黑洞外视界面的面积为

                            （2。10）

第2节 黑洞热力学