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测量点A在(X1，Y1，Z1)坐标系下的运动轨迹方程为：
(1.2)
所用测量坐标系和被测镜面坐标系之间的关系式为：
(1.3)
测量点A在(X,Y,Z)坐标系下的轨迹方程为：
(1.4)
由方程组(1.4)可知：测量点的轨迹总是处于半径 的球面上。再根据二次非球面的理想面形方程，我们可以得到被测镜坐标系和测量坐标系之间的转换关系，从而得到测量值 与测量点在X，Y平面内的位置关系：
(1.5)
如果检测不同的非球面面形，只需要调整倾斜角度和测量臂长度就可以实现对不同非球面镜轮廓的测量。摆臂式轮廓测量方案相对于传统直线式轮廓检测方案的优点是将原直角坐标系下的纵向高度差转化为极坐标系下的径向面形差，减小了直接测量值，大大缩短了量程。
摆臂式轮廓测量法最早是由美国Arizona大学的David S.Anderson[4]和James H.Burge于1990年提出的。在欧洲EURO-50项目中， NPL国家物理实验室、Zyko公司也对摆臂式测量方法展开了相关的研究。
在国内，苏鹏[3],景洪伟[1，3]等人针对摆臂式测量扫描过程中存在的系统误差，选用双探针扫描方式，实现了轮廓检测过程中的自我校正，提高了检测的精度。
上述的各种摆臂式测量非球面轮廓的方案，多选用接触式探针。针对一些特殊的大口径非球面采用非接触式测量的要求，基于非接触式探头，例如基于白光干涉显微镜非球面检测方案也相继被提出，本文在后面会有详细介绍。
3 基于曲率测量的非球面轮廓检测
在非球面轮廓检测的过程中，非球面的固定、装夹过程会引入人为的倾斜或者俯仰因素。而非球面轮廓上各点的曲率是不受外在的倾斜等因素的影响的，同时也能准确得反映非球面轮廓各点的弯曲程度，也就是待测面形信息。因此通过测量非球面的曲率来间接获得面形轮廓的分布是非球面轮廓检测的另一种重要思路[4]，如图1.3所示。
图1.3 基于曲率测量的非球面轮廓检测示意图
已知直角坐标系下轮廓曲线的曲率表达式为：
(1.6)
其中 为曲线上的点的坐标， 与 分别为一阶导数和二阶导数， 为该点处的曲率。若要求解上述方程，只需要确定一些其他边界初值条件即可。当测量获得非球面表面各个采样点处的曲率值 后，就可以通过数学的方法解算来获得原始的面形轮廓信息。
基于曲率测量的轮廓检测方案，避免了倾斜、俯仰等其它因素的影响，但该方法在测量过程中大多采用采样式的测量方式，即在整体表面轮廓上选取一定的合适数量的采样点，然后对每个采样点处区域的面形轮廓进行拟合处理从而获得该点处的曲率值[5]。最后通过一系列相应点处的曲率值重建非球面的轮廓。需要注意的是，采取采样式的扫描方式必然会导致面形信息的缺失，且对面形轮廓上的噪声点非常敏感。此类方案测量效率比较低，需要的时间较长，多在中等口径的非球面和高陡度复杂曲面的检测过程中采用[6]。