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y=[█(1 0 0 0@0 1 0 0@0 0 1 0@0 0 0 1)][█(r@r ̇@θ@θ ̇ )]+[█(0@0@0@0)]u. (5.3)
5.2.1 能控性和能观性理论基础
设单输入单输出线性定常系统的动态方程为
{█(x ̇(t)=Ax(t)+bu(t)@y(t)=Cx(t) )┤
式中x(t)为n×1文矢量；A为n×n型矩阵，b为n×1列矢量；C为1×n行矢量。
若存在一个无约束的控制矢量u(t),在有限的时间内，将系统由任意给定的初始状态x(0)转移到状态空间的坐标原点，则称系统的状态是完全能控的，简称能控系统。线性定常系统能控性判据为系统的能控性矩阵
S_c=[b Ab A^2 b ⋯A^(n-1) b]
为满秩。
如果输入u(t)已知，在有限的时间区间[0，t_f ]内，通过对输出y(t)的测量值能唯一地确定系统的初始状态x(0)，则称系统的状态是完全能观的，简称系统能观。线性定常系统能观性判据为系统的能观性矩阵
S_o=[C CA CA^2 ⋯CA^(n-1) ]
为满秩。
5.2.2 系统能控性和能观性MATLAB计算分析
在MATLAB中输入能控能观性程序代码（代码见附录二），输出结果如下
图5.1 球杆系统能控性输出结果
图5.2球杆系统能观性输出结果
由输出结果可知，系统的能控矩阵和能控矩阵皆为满秩，球杆系统是完全能控和完全能观的。
5.3 球杆系统的二次性能指标确定
对线性化的球杆系统选取控制性能指标为
J=1/2 ∫_0^∞▒(x^T Qx+u^T Ru)dt
x为平衡点线性化后球杆系统内部的各状态，u为控制输入信号，Q为对称非负定矩阵，R为对称正定矩阵。期望通过确定最佳控制量u(t)=-Kx(t)的矩阵K，从而使得控制性能指标J达到极小。
5.4 球杆系统的二次最优控制器MATLAB仿真
加权矩阵R固定选为0.01，而加权矩阵Q根据其各状态项的相对重要性选取对角矩阵上各个元素值。在球杆系统中，期望小球在球杆系统上位移和速度尽可能接近于零，故选择Q=[900,0,0,0;0,1,0,0;0,0,8,0;0,0,0,70];。
在MATLAB中，lqr（A、B、Q、R）函数可以用来计算满足性能指标
J=1/2 ∫_0^∞▒(x^T Qx+u^T Ru)dt
为最小的最优反馈控制增益矩阵K。
由式（4.1）知A=[█(0 1 0 0 @0 0 0.6958 0 @0 0 0 1 @0 0 0 -33.3 )],B= [█(0@0@0@1.038)]
故对平衡点附近线性化的系统其状态反馈增益为：
K =（300.0000 458.0879 243.2337 60.1028）
将推导得出的反馈增益矩阵K代入闭环系统的Simulink仿真中，仿真框图见图5.3，在零初始状态下进行仿真，得到的仿真结果如图5.4所示。
图5.3 基于LQR的球杆系统仿真
图5.4 球杆系统的阶跃响应
由仿真结果图5.4可知，系统的超调量为2%，稳态误差为5%，基本能满足控制要求，但稳态误差比较大，控制效果有待进一步提高。由二次最优控制理论可知，若选取不同的加权矩阵Q，即对球杆系统中各项状态赋予不同的权值时，系统的响应将发生变化，现选取两个不同的Q，用MATLAB算得相应状态反馈增益，系统在两个不同Q值下的响应如下图。
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