对狄利克雷级数的深入研究，一方面是为解决在数论领域中的所提出问题，帮助对各种黎曼猜想的研究去的进展，另一方面也是为研究级数本身，了解狄利克雷级数各方面性质。对于狄利克雷级数性质的研究主要分为四个部分：级数收敛性、自然边界及奇异点分布、级数增长性和级数值的分布。对其分析性质的研究，经过一百多年的发展，狄利克雷级数和随机狄利克雷级数已经成为了复分析领域中的一个非常活跃的研究课题。27142
对形式为 的狄利克雷级数的研究始于19世纪，有着悠久的历史，它一直以来被各国数学家们感兴趣的主要原因也正是它在研究解析数论这一领域中所扮演的非常重要的角色。狄利克雷级数的主要理论由Hadamard，Landau，Hardy，Riesz，Schnee，及Bohr等数学家的努力而得到发展[5,6]。论文网
长久以来的积累，使有关狄利克雷级数的理论有了丰富的结论。用狄利克雷级数在垂直直线上的值计算和估计系数，是关于Taylor级数相关结果的推广；用级数在垂直线段或水平直线上的值估计系数，是由F. Carlson、E. Landau、E. Ingham及L. Schwartz开始进行的，J. M. Anderson及K. G. Binmore得到了比较精准的结果；狄利克雷级数奇异点的研究曾经有很多的数学家进行了大量的研究工作；狄利克雷级数所定义的整函数值分布的研究，是由J. Gergen，S. Mandelbrojt和G. Valiron开始的，余家荣和田中忠二深入发展了相关研究，并得到了有关拉普拉斯变换的相应结果；随机Taylor级数及随机狄利克雷级数的研究分别有H. Steinhaus及R. E. A. C. Paley与A. Zygmund开始的，有关随机狄利克雷级数，首先要研究的使其收敛性，来确定收敛域（有关不同系数列的收敛性质，本文有所介绍。）；有关随机狄利克雷级数增长性的研究,目前主要围绕四个方面：在水平直线上的增长性、与Nevanlinna特征函数有关的增长性[1]；研究随机狄利克雷级数的值分布的问题，到目前为止主要通过合适的单叶映射把由随机狄利克雷级数定义的函数变换为单位圆盘上的随机解析函数，在通过函数的增长性并借助与Nevanlinna理论研究值的分布。
然而，这些一般理论的成果是早在泛函分析的思想被现代数学家们广泛地接受并使用之前就已经得出了的。不过泛函分析的现代思想看起来同样也是研究狄利克雷级数的好方法。因此在今天，一些数学家也已经开始使用新的方法对狄利克雷级数进行研究[5]，但这种方法要的到广泛的流传还需要我们更多的努力和宣传。
从上世纪30年代开始，许多著名的科学家J. Gergen及G. Valiron等首先对由狄利克雷级数定义整函数的增长型和值分布问题进行了研究,开创了狄利克雷级数的研究新方向。在这之后50多年的时间里，C. Tanaka，V. A. Oskolkov还有我国数学家余家荣等人分别对由狄利克雷级数和随机狄利克雷级数所定义的整函数与随机整函数进行了大量的研究[2]。直到20世纪70年代，余家荣首先给出了半平面上的狄利克雷级数的定义，开创了对由狄利克雷级数和随机狄利克雷级数定义的解析函数与随机解析函数的增长性、值分布及边界性质的研究，这引起了国内外数学界的重视和关注[2]。现阶段，我国在该领域上的研究取得了一系列的原创性成就，在该领域上走到了世界的前列。
有关广义狄利克雷级数零点的问题——例如前面所讲的关于黎曼ζ函数零点的黎曼猜想，关于狄利克雷L函数的零点的广义黎曼猜想——一直是至今未得到完善证明的世界难题。 狄利克雷级数的意义和研究现状:http://www.youerw.com/yanjiu/lunwen_21545.html