图2-1 生物启发神经网络等效电路模型

美国波士顿大学科学家Grossberg[37] 在1988年将上述微分方程通过变量替换进行了数学上的简化，其变化为设 ， ， ， ， ， ，和 ，从而生物启发动力学模型可以变为以下方程：

这里面， 代表神经网络的衰减率，其大小对神经网络的活性输出值有直接的影响，后面的篇幅中将详细讨论； 和 分别限定了神经网络的活性值输出上下限，它们都是常量。 代表神经网络的活性值， 和 分别代表神经元的激励输入和抑制输入。

2。2  生物启发神经网络模型

用建立的生物启发神经网络来表示水下环境二值地图，在二维平面上可以表示为如图2-2所示的模型，即每个圆圈代表一个神经元单元，同时对应水下平面环境的一个位置，每个神经元之间相互连接构成了网络，神经元之间具有侧连接权重，其输入输出可以在式(2-2)基础之上进一步拓展为式(2-3)：

图2-2 神经网络二维结构

在公式(2-3)中， 代表第 个神经元的活性值， 代表第 个神经元的相邻神经元活性值， 代表连接数目， 代表神经元的激励输入相当于公式(2-2)中 ， 代表神经元的抑制输入，相当于公式(2-2)中的 ，其中表达式 可以定义为 ，同理， ， 和 分别来自于目标的吸引和障碍物带来的抑制作用。其中 定义为式(2-4)：              (2-4)文献综述

在上式中E是一个数值较大的常量，其值远远大于神经网络上界B，在公式(2-3)中， 代表横向(侧)连接权重，其定义为 ，其中， 和 是两个矢量，分别代表第 个神经元和第 个神经元的位置， 为两者间的欧式距离，函数 为一个单调递减函数可以定义为式(2-5)：                    (2-5)

这里， 和 都是正值常量，而由于神经元之间的侧连接不具有方向性，因此连接权重具有对称性，可以表示为 。由(2-3)式可以看出，神经网络的激励信号传递具有全局影响性，其可以通过神经元之间的连接进行，而抑制信号的传递仅有局部作用，仅当附近障碍物或非目标物体产生局部传递效应。

2。3  模型稳定性分析及相关参数的敏感性讨论

2。3。1  二维神经网络模型稳定性分析

稳定性是一个系统在无外部影响下系统是否能够达到或趋向平衡状态的指标，尤其对于一般的控制系统是十分重要的。一个稳定的神经网络系统使得机器人进行正常的路径选择，因此，在这里对于生物激励神经网络进行稳定性探讨是必要的。广义形式下的式(2-3)的稳定性是通过构造出一个Lyapunov函数进行了对照证明，同样地，本文也通过Lyapunov的构建对生物激励神经网络的稳定性进行数学上的证明。