图2.5  静止两相正交坐标系和旋转正交坐标系中的磁动势矢量
αβ坐标系和dq坐标系的磁动势矢量如图2.5所示，绕组每相有效匝数均为N_2，两相交流电流i_α,i_β和两个直流电流i_d,i_q产生同样以角速度ω_1旋转的合成磁动势F_s。
由图2.5可得到以下等式：
i_d=i_α  cos⁡φ+i_β  sin⁡φ
i_q=〖-i〗_α  sin⁡φ+i_β  cos⁡φ                    （2-16）
写成矩阵形式，得：
[(i_d@i_q )]=[(cos⁡φ&sin⁡φ@-sin⁡φ&cos⁡φ )][(i_α@i_β )]                     （2-17）
因此，两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换矩阵为：
C_(2s/2r)=[(cos⁡φ&sin⁡φ@〖-sin〗⁡φ&cos⁡φ )]                      （2-18）
同样可得两相旋转坐标系到两相静止坐标系的变换矩阵为：
C_(2r/2s)=[(cos⁡φ&〖-sin〗⁡φ@sin⁡φ&cos⁡φ )]                           （2-19）
电压和磁链的旋转变换阵与电流旋转变换阵相同。
2.3 异步电机在不同坐标系下的数学模型
异步电机原始数学模型相当复杂，通过坐标变换可以简化数学模型，建立在不同坐标系下异步电机的数学模型，便于分析计算。下面给出了通过坐标变换，得到的异步电机在静止两相坐标系和旋转坐标系下的数学模型。
2.3.1 异步电机在静止两相坐标系下的数学模型
第二节介绍了异步电机的动态数学模型，为了进行矢量分析，下面通过坐标变换把它转化成两相静止坐标系下的模型。
异步电动机定子绕组是静止的，只需要进行3/2变换。而转子绕组是旋转的，因此需要通过3/2变换和2R/2S变换，才能变换到静止两相坐标系上。
    定子绕组和转子绕组的3/2变换
 对定子和转子三相绕组进行3/2变换。变换后定子αβ坐标是静止的，而转子α’β’坐标是以角速度ω逆时针旋转的。数学模型如下：
电压方程为：
[(u_sα@u_sβ@u_rα@u_rβ )]=[(R_s&0&0&0@0&R_s&0&0@0&0&R_r&0@0&0&0&R_r )][(i_sα@i_sβ@i_rα@i_rβ )]+d/dt [(ψ_sα@ψ_sβ@ψ_rα@ψ_rβ )]             (2-20）
磁链方程为：
   [(ψ_sα@ψ_sβ@ψ_rα@ψ_rβ )]=[(L_s&0&L_m  cos⁡θ&〖-L〗_m  sin⁡θ@0&L_s&L_m  sin⁡θ&L_m  cos⁡θ@L_m  cos⁡θ&L_m  sin⁡θ&L_r&0@〖-L〗_m  sin⁡θ&L_m  cos⁡θ&0&L_r )][(i_sα@i_sβ@i_rα@i_rβ )]     （2-21）
转矩方程为：
T_e=-n_p L_m [(i_sα i_ra+i_sβ i_rβ )  sin⁡θ+(i_sα i_rβ-i_sβ i_rα )  cos⁡θ ]   （2-22）
式中， L_m=3/2 L_ms表示定子与转子同轴等效绕组间的互感；
L_s=3/2 L_ms+L_ls=L_m+L_ls表示定子等效两相绕组的自感；
L_r=3/2 L_ms+L_lr=L_m+L_lr表示转子等效两相绕组的自感。
     转子旋转坐标变换及静止αβ坐标系中的数学模型
对转子坐标系α’β’作2R/2S旋转变换，即将α’β’坐标系顺时针旋转θ角，使其与αβ坐标系重合，且保持静止。 基于无速度传感器异步电机矢量控制系统研究仿真(6):http://www.youerw.com/zidonghua/lunwen_2866.html