短幅外摆线以基圆圆心为原点,以两种外摆线的中心距和短幅系数为已知参数,以动圆转角为变量的参数方程建立如下：
在后面的表述中将动圆转角 记为 ,并称之为相位角。
（1）直角坐标参数方程
根据图２－３,摆线上任意点 的坐标为
图２．３　短幅外摆线原理图
根据纯滚动原理可得知 ，所以 ，且 ，于是得 ，  ， 将 与γ的表达式代入上述方程,
式(２.２－４)和式(２.２－５)就是变幅外摆线通用直角坐标参数方程。
如果令上两式中的Ｋ１=１即可得标准外摆线的参数方程。对于外切外摆线,式中的Ａ=ｒ１＋ｒ２,ａ＝ｒ２。
对于内切外摆线，式中的Ａ=ｒ２′，Ａ=ｒ２′-ｒ１′。
为了与直角坐标表示的曲线相一致,将Ｙ轴规定为极轴,将沿顺时针方向的角度规定为正方向,方程表述如下(参看图２－３)：
同理,Ｋ１＝１时,变幅外摆线通用极坐标参数方程变为标准外摆线极坐标方程,参数ａ和Ａ的变换同上。
当动圆绕基圆顺时针方向作纯滚动时，每滚过动圆的周长2 时，动圆上的一点Ｂ在基圆上就形成一条外摆线。动圆的周长比基圆的周长 长ｐ=2 - ＝ ，当 圆上的B点在动圆滚过周长 再次与 圆接触时，应是在 圆上的另一点 ，而 ＝ ，这也就是摆线轮基圆 上的一个基节ｐ，即             　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

可以得到摆线轮的齿数为    　　（２．９）
针轮齿数为    　　　（２．１０）
２.３　摆线轮的齿廓曲线
由以上分析，以摆线轮的几何中心作为原点，过原点并以与摆线轮对称轴重合的轴线作为 轴，见图２－４，摆线轮基圆半径为 ，针齿销套外圆半径 。
则摆线轮的直角坐标参数方程式如下：
                
式中iH——摆线轮和针轮的相对传动比，iH；
φ—— 转臂相对于某一针齿中心矢径的转角（°），即啮合相位角φHP之简写；
rrp——针齿套外圆半径（㎜）；
 ；
Ｋ1'——有移距修形时齿形的短幅系数，Ｋ1'=(ａＺｐ)⁄(ｒｐ+∆ｒｒｐ)；
∆ｒｐ——摆线轮的移距俢形量（㎜）；
∆ｒｒｐ——摆线轮的等距修形量（㎜）；
 δ——摆线轮的转角修形量（°）。                                
若式（2.11）中的∆ｒｐ，∆ｒｒｐ，δ都等于零，便得到摆线轮的标准齿形方程式。
 
图２．４　摆线轮参数方程图

实际齿廓方程ｘ＝ｘ０＋rｒｐcosｇ
　　　　　　ｙ＝ｙ０－（Ｋ１/ＺＰ）cos(ｚｐｆ)　　　　　（２．１２）
　　　　            
ｒｐ——针齿中心圆半径   ｒｒｐ——针齿套外圆半径  ｆ——转臂相对某一中心矢径的转角，即啮合相位角（ ）  Ｚｐ——针齿数目
 3　摆线针轮减速器的设计计算和ＣＡＤ设计
　　此摆线针轮减速器的功率为１ＫＷ，传动比ｉ＝１００，将电机的输入转速定为１５００ｒ／ｍｉｎ。根据使用的条件，确定为针轮固定的卧式减速器，不带电机。
３.１　摆线针轮减速器的设计计算
３.１.１　基本参数计算 SolidWorks摆线针轮减速器原理与设计(5):http://www.youerw.com/jixie/lunwen_7785.html