多级毕卡迭代法及其应用+文献综述(2)
时间:2018-04-19 12:07 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
而毕卡迭代法和其他迭代法的主要区别就是在考虑一阶微分方程的初值问题时，首先把导数的形式变化为积分的形式，由此建立迭代的关系式。毕卡迭代法作为积分中的一种，对于求解一些复杂的微分方程起到了简化过程，起到了近似逼近精确解的效果。毕卡迭代法是解答微分方程的一种有效方法。 毕卡简介 毕卡（Picard，Charles Emile，1856年7月24日—1941年12月11日）是法国数学家。毕卡的主要贡献在解析函数论、微分方程、代数几何学和力学等方面。1879年他提出毕卡第一定理，次年得到毕卡第二定理。这两个定理成为复变函数论许多新方向的起点。1883–1888年毕卡将庞加莱（Poincaré）自守函数的方法推广到二元复变函数，进而研究了代数曲面（1901），导致了“毕卡群”（Picard Group）的建立。他推广了逐步逼近法，证明了含复变量的微分方程和积分方程的解的存在唯一性定理。 Picard 定理是整函数和亚纯函数理论中一个非常深刻而重要的定理。1879 年,Picard 提出证明了下述定理: 定理1 非常数的整函数取不到的值至多只有一个. 定理2 在本性奇点的某个邻域内全纯的函数f (z),在该邻域内可以取(并且是无穷多取) 任何限数值,至多除去一个例外多数值. 定理1 称为Picard 定理,定理2 称为Picard 的一般定理.Picard 定理发表以后相当长一段时间内,它一直在函数论中立着,直到1897 年Bored 用初等方法给出证明,并且还得到形式更为精确的结论,才使得Picard 定理与当时已经存在的结果建立了联系. 首先是Borel 的证明没有用到模函数被称为初等证明接着，1991 年北京大学张顺燕教授运用流形知识给出Picard 定理一个简单证明。 同时，在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题．非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容。 毕卡迭代法的应用举例 在科学领域中，几乎所有涉及到变化率的问题都能用微分方程的模型来解决。在微分方程求解的过程中，有一种证明解的存在唯一性定理的方法称为Picard逐次逼近法[6]，它是这个定理证明的核心，也 是求近似解的一个理论基础。具体运用如下： 定理1 若f(x,y)在R上连续，并关于y满足利普希茨条件，则方程 存在唯一的解 ，在区间定义[x_0-h, x_0+h]上连续，并满足初始条件： , , 取 ，构造Picard逐步逼近函数如下： 故得函数列为 这样一个连续函数列，如果 ，则 是方程 满足初始条件 的解；若运算过程中未发生此种情况，则在前面的函数列有一极限函数 ，使得 ， 为方程 满足初始条件 的特解。 多级毕卡迭代的描述 毕卡迭代法在积分与微分方程中的应用。多级毕卡迭代法的主要概念就是运用积分的方法，通过迭代方程来扩大微分方程解的有效范围【4】。 我们考虑一阶微分方程的初值问题 从t0到t的积分可知： 由毕卡迭代法可知： 解初值问题 精确解： 但是，在大多数情况下，等式（4）很难被积分得出结果。如微分方程 等。 (责任编辑：qin) |