论数学美在数学发现中的启迪作用(3)
时间:2018-07-30 22:22 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
又如：圆的半径为 ，求内接与圆中最大三角形的面积.圆被称为平面上最美的图形，因为圆中含有无穷多条对称轴，要求圆中最大的内接三角形，那么这个三角形在完全性上就必须最接近圆，因而这个三角形就具有最多的对称性，我们知道三角形中正三角形具有最多的对称轴.从这道题中我们可以看出，对称的思想可以帮助人们进行猜测，进而指出问题的解决方向. 3 统一美在数学发现中的启迪作用 古代道家说：天空是清澈的，大地是安宁的，万物能够生存，都有一个一相当.世界的统一性在于它的物质性，毕达哥拉斯学派认为万物都可以用数来表达.数学中出现了众多的分支，合久必分，分久必合，数学也在分与和的矛盾中得以发展.数学美的重要标志之一就是数学的结构美，数学中充溢着辩证思想，少许外表上看没有关系的定义、定理、概念，但在必然的条件下却能够处在一个体系中. 3.1统一性启迪数学概念的拓广 勾股定理被德国科学家开普勒称为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一，它是著名的古希腊的毕达哥拉斯的杰作之一，在数学的发展中的地位非常高。追求统一性，对数学概念的拓广起着非常重要的作用.例如数学中的概念：三角函数和勾股数等都满足勾股定理；费尔马猜想： 无非0的整数解 ；广义勾股数(一)与广义勾股数(二)；平面曲线积分、空间曲线微分、欧式空间两点间的距离等概念都是由勾股定理拓广而产生的，你中有我，我中有你. 又如，初中我们所学的“距离”概念：点与点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线之间、两个平行平面之间、直线与平行平面之间的距离等概念，这些距离都可以统一为一个大的概念.由于距离空间极限概念的局限性，距离空间又被拓广到拓扑空间.由此可见，正是人们为了达到某些统一，才有必要对原有的概念加以拓展延伸，同时拓广又是数学发展的重要手段. 3.2利用统一美，使解题另辟蹊径 问题一：已知 ，求证： .已知的问题条件是三个数的和为零，所要证明的是它们两两之间积的和，等式的各项次数都是一次，不等式的各项都是2次，由此可见已知和未知是不均匀的数，这样很难从已知向未知靠近，显然要解决这个问题，首要任务是达到次数的统一.通过观察已知条件，我们对等式两边同时平方，展开后即变成了二次形式，通过移向很容易得到 ，由平方的性质结论得证. 问题二：已知 ,且 ，求 的取值范围.问题的已知条件 是一个等式，而所要求的 是一个代数式，已知和未知在结构形式上不和谐、不统一，目标是要求一个代数式的范围，我们可以设 ,通过换元可以化为统一的结构.又由于 为一次项， 为二次项，为达到次数的统一，对等式 两边同时平方，接下来再使用均值不等式转化为关于 的不等式便可求解. 从以上两道数学题的优解，我们可以发现，使用统一美，不仅可以提供解题的思路，还可以使求解过程达到事半功倍的效果. (责任编辑：qin) |