陪集的性质与应用(2)
时间:2019-08-08 18:08 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
定义1.5 设 是 的正规子群，任取二陪集 与 ，则根据群中子集的乘法 即 .我们称这个为陪集的乘法. 定义1.6 群 可表示成子群 的一些互不相交的左陪集之并. 因此， 群的子群 的全体左陪集的集合组成群 的一个分类. 即 ， 其中， 取遍 的不同陪集的代表元素. 特别，如果 为有限群， 则 其中， 为 的不同左陪集的个数. 定义1.7 若群 中每个元素的阶都有限，则称群 为周期群. 2. 陪集的性质 性质2.1 设 是一个群， 是 的子群， ，则 证明 因为 是 的子群， ，故 （证毕） 性质2.2 设 是一个群， 是 的子群， . 证明 设 ，则由性质1知 ，故 . 反之，设 .因为 是子群，故 ； 又任取 .由于 ，故 ，且 . (证毕） 性质2.3 设 是一个群， 是 的子群， 证明 设 .令 ，则由性质（2）有 . 反之，设 .则因 ，故 . （证毕） 性质2.4 设 是一个群， 是 的子群， ，即 与 同在一个左陪集中 （或 ）. 证明 由设 则 ， . 于是由性质2.2知， . 反之，若 ，则依上倒推回去即得 . (证毕） 应注意，把性质3和性质4结合起来，就得到： ，即 与 同在一个左陪集中 （或 ）. 性质2.5 设 是一个群， 是 的子群，若 ，则 . 证明 设 ，则 ， .于是根据性质3可知 （证毕） 这个性质表明，对于任意两个左陪集来说，两者要么是相等的，两者要么没有公共元素（即其交为空集）. 性质2.6 的每一个元素只属于一个右陪集. 证明 存在 ，因为 是一个子群，单位元 ，所以 ，就是说元素 属于右陪集 . 设 ，那么 由此得， ，而 的任意元素 所以 ，同理可得， 所以 ，即 只能属于一个右陪集. （证毕） 性质2.7 设 是一个群， ， 则对于任意 ， 恰由 中的每个元素的逆元组成. 即有 . 证明 设 ， 任取 ， 其中 ， 因为 ， 且 ， 所以 ， 故 ，因此 .又任取 ， 其中 ， 则 ， 所以 ， 因此 ， 所以 . (证毕） 性质2.8 设 为群， .若则下列各条件等价： （1） . （2）任意的 ，存在 ，使得 (任意两个左（右）陪集之积还是左（右）陪集）. 证明 ：任意的 ，有 ：因为 ，有 ， 即 ，有 即 ，得 ，或 ，于是 由 的任意性，故（1）成立. (责任编辑：qin) |