陪集的性质与应用(3)
时间:2019-08-08 18:08 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
(证毕) 性质2.9 子群的互不相等的陪集不相交而且彼此都含有相同数目的元素. 证明 证明这个性质我们可以先证明设 ,那么 与 的任一个右陪集 之间都存在双射. 设 ,其中 . (1) 任意的 ,作为 在 下的象 是唯一确定的, 所以 是映射. (2) 任意的 ,则显然 有原象 , 所以 是满射. (3) 设 , 如果 则 必有(群的消去律) 所以 必是单射. 由(1),(2)和(3)知 是双射. (证毕) 性质2.10 设 , ,证明以下命题等价: (1) ,(2) ,(3) ,(4) . 证明 本题主要熟悉陪集性质.用循环证法. (1) (2) 另一方面, 综上得 (3) 显然有 . 存在 使 ,所以 . (证毕) 性质2.11 假设 是一个群, 是所有右陪集 的集合. 是群 中的任意一个子群( 包含 本身和 )并且 是 中的任意一个元素. 在 上定义一个二元运算“ ” 如下: 这里 (包含 和 )是群 中的最小子群, 则: (1) 是包含 的最小的陪集; (责任编辑:qin) |