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摘要本文通过推导出空间曲线曲率中心轨迹的曲率与挠率,并与原曲线的曲率、挠率作比较,得出其曲率和挠率的相关性质.再由一般螺线的曲率中心轨迹的曲率与挠率,类比曲线的曲率中心轨迹的结论得出曲率和挠率的性质.并将上述结论结合一般螺线自身的性质,即曲率与挠率的比值为常数.分析、研究当曲率和挠率均为常数时,通过所得结论分析得到曲线的曲率中心轨迹的结构性质.43187

毕业论文关键词：曲率中心  曲率  挠率  一般螺线

The Character of Curvature and Torsion of Trajectory in Curve and Curvature Center

Abstract

In this paper, we study curvature and torsion of trajectory in space curve and curvature center by deriving its curvature, torsion and relations of curvature and torsion of space curves. Then the general spiral trajectory curvature center of curvature and torsion, deriving its character. We analysis and study the character of the structure of the trajectory in curve and curvature center if the curvature and the torsion are constant.

Key Words: centre of curvature  curvature  torsion  the general spiral

 目  录

摘要Ⅰ

Abstract-Ⅱ

目录Ⅲ

1 绪论 -1

2 基本概念1

3 曲线的曲率中心轨迹的曲率与挠率2

3.1曲率-3

3.2挠率-4

4 一般螺线曲率中心轨迹的曲率与挠率5

4.1曲率 6

4.2挠率 6

5 曲率为常数的曲线曲率中心轨迹的结构- 8

6 结论-10

参考文献12

致谢13

1 绪论

微分几何的主要研究方向可以分为曲线论与曲面论两方面.其中对于曲线论来说,研究曲线的曲率与挠率是至关重要的部分.通过曲线论的基本定理可以知道曲率 与挠率 完全决定了曲线的形状.

本文通过曲率中心轨迹的曲率与挠率与原曲线的曲率与挠率比较、分析得出,原曲线的曲率为常数时,曲率中心轨迹的曲率也是常数并与原曲线的曲率相等,而挠率与其存在如下关系: (其中 ).由一般参数下的曲率与挠率的计算公式可以简单的得出 其中有 又由一般螺线存在性质 可知 .当一般螺线的曲率为常数时,它的挠率也为常数，故可知曲率为常数的一般螺线是圆柱螺线,又因为当曲率为常数时,一般螺线曲率中心轨迹的曲率与原曲线的曲率相等,而又有一般螺线的曲率为常数时,它的曲率中心轨迹的挠率也是常数,所以可知一般螺线的曲率为常数是,则它的曲率中心轨迹是圆柱螺线.综上可得,圆柱螺线的曲率中心轨迹依然是圆柱螺线.

2 基本概念

设空间曲线(C)为 类曲线,则该曲线方程可表示为： .

空间曲线(C)上取一点 ,它的自然参数为 ,又另取一邻近点 它的自然参数为 在点 和点 分别作空间曲线(C)的单位向量  .它们的切向量之间的夹角为 ，即就是将点 平移至点 所在的位置后，向量 向量 之间的夹角为 .

定义   空间曲线(C)在点 的曲率为 ，

其中 为点 及它的邻近点 之间的弧长， 为曲线在点 和点 的切向量之间所成的夹角.

曲率它的几何意义为:曲率刻画了曲线的切向量在一点处的旋转速度,又有曲线在一点处的切向量对于弧长的旋转速度越大，则曲线在该点处的弯曲程度就相应的越大,所以曲率又刻画了曲线在一点处的弯曲程度.

一般参数下曲率的计算公式：    (2-1)

定义  曲线(C)在点 的挠率为

挠率的绝对值是曲线(C)的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速.

挠率的几何意义：曲线上一点处的副法向量 的旋转速度刻画了曲线在一点处的扭曲程度. (责任编辑：qin)