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2.7.5 利用对称性换元 15

2.7.6 代数换元 16

2.7.7 分式换元 16

2.7.8 比值换元法 17

2.8  放缩法 17

3 不等式的高等数学证明方法 19

3.1 利用函数凹凸性发现或者证明不等式 19

3.2 利用函数单调性发现或者证明不等式 20

3.3 利用函数的最大值最小值发现或者证明不等式。 22

3.4 利用微分中值定理发现或者证明不等式。 24

3.5 利用泰勒公式发现或者证明不等式。 28

结 束 语 31

参考文献 32

致谢 33

1 引言

不等式是我们在学习数学中用到非常多的一件工具，它不仅在数学领域运用多，而且在物理学、经济学、教育学等诸多领域中也被经常被使用到。因此，近些年来，不等式在中学教学中受到了越来越多的重视。不论是在几何、函数、排列组合还是数论中，都会出现一些与不等式有关的问题。而在高考数学模块中，也有专门一道题是关于用不等式求解的。这就使得不等式问题（尤其是不等式证明问题）在数学竞赛中显得尤为重要。不等式在初等数学和高等数学中都有重要的研究意义。尤其是20世纪90年代，不等式的研究空前活跃，越来越多的学者开始研究不等式。近年来，诸如Young不等式、Cauchy不等式、Abel不等式等成为当前数学研究中的热门。接下来我就将对初等数学和高等数学中我们所遇到的一些不等式进行探讨，并且对它们对应的证明方法进行探究。

2 初等数学中常见的不等式证明方法

2.1 综合法

   利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”到“需知”，最后再逐步得出“结论”。其逻辑关系为： … ，即从已知 逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论 。

例 设 ，若 ， ， ,

试证明：对于任意 ，有 .

分析 要想把这个二次函数的性质研究透，最好的办法就是能够确定其解析式．

题中所给的已知条件并不能确定参数 的值，但我们可以注意到：本题要我们求出的不是 的确定值，而是与已知条件相对应 的“取值范围”。因此，我们可以将 ， 和 当成两个独立条件，将 先用 和 来表示。

证明 因为  ,所以  , .当 时， ，

所以，根据绝对值不等式的性质可得 ， ， .

所以综上所述，得证. 

2.2 分析法

     综合法和分析法是两个是密不可分的方法。当解题思路无法从条件入手时，我们就可以采用分析法去思考，但最终依然要用综合法去证明。从待证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，再逐步到“已知”。用分析法证明 的逻辑关系为： … ，书写的模式是：为了证明命题 成立，只需证明命题 为真，从而有…，这只需证明 为真，从而又有…，……这只需证明 为真，而已知 为真，故 必为真。像以上这种证题模式，我们可以发现，用分析法证明不等式是每一步都寻求上一步成立的充分条件。 (责任编辑：qin)