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例 已知: , , 且    ，求证:     .

证明 要证     , 

     只需证   ,

         因为 ,故 .

         所以只需证 ,  . 

     只需证    . 

     由已知    ,

         所以只需证 . 而 , . 

     故 ≤  .

     故原不等式成立。

2.3  比较法

        比较两个式子的大小有两种常见的基本方法，即求差或求商（与0或1的大小关系）。

    例1（作差法） 如果用 kg白糖制出 kg糖溶液，则糖的质量分为 ，若在上述溶液

中再添加 kg白糖，此时糖的质量分数增加到 将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。

        解 可以把上述事实抽象为如下不等式问题：

        已知都是正数，并且 ，求证： 

    证明   

        因为  都是正数，并且 ，

        所以  , ， 

    即    .

例2（作商法） 设a, b  R+，求证： 

    证明   当a = b时， 

当a > b > 0时， 

    当b > a > 0时，  ∴ 

2.4 构造法

2.4.1 利用函数的单调性

例 求证  

    分析 将不等号两边的式子转化为 的形式，所以可以考虑 在 时的单调性.

证明 构造函数 ，设 ，

    故 在 上是增函数，且 ，令 ，     则有  不等式得证.